2022年四川省广元市中考数学真题（教师版）

这是一份2022年四川省广元市中考数学真题（教师版）
2022年四川省广元市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）1. 若实数a的相反数是-3，则a等于（　　）A. -3 B. 0 C.  SKIPIF 1 < 0  D. 3【答案】D【详解】【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．【详解】解：∵3的相反数是-3，∴a=3．故选：D．【解题思路】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．2. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱【答案】B【详解】【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B．【解题思路】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．3. 下列运算正确的是（　　）A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2C. 3y•2x2y＝6x2y2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2【答案】C【详解】【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】解：A、x2与x不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；B、（﹣3x）2=9x2原计算错误，该选项不符合题意；C、3y•2x2y=6x2y2正确，该选项符合题意；D、（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．【解题思路】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键．4. 如图，直线a SKIPIF 1 < 0 b，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°【答案】C【详解】【分析】根据题意易得∠1+∠3=90°，然后根据平行线的性质可求解．【详解】解：如图，由题意得：∠3=180°-90°-∠1=40°，∵a SKIPIF 1 < 0 b，∴∠2=∠3＝40°，故选C．【解题思路】本题主要考查平行线的性质及平角的意义，熟练掌握平行线的性质及平角的意义是解题的关键．5. 某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（　　）A.  SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0  B.  SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 C.  SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0  D.  SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 +10【答案】B【详解】【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，依题意得： SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．【解题思路】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6. 如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　）A. 平均数是6 B. 众数是7 C. 中位数是11 D. 方差是8【答案】D【详解】【分析】根据题目要求算出平均数、众数、中位数、方差，再作出选择即可．【详解】解：A、平均数为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项错误，不符合题意；B、众数为5、7、11、3、9，故选项错误，不符合题意；C、从小到大排列为3，5，7，9，11，中位数是7，故选项错误，不符合题意；D、方差 SKIPIF 1 < 0 ，故选项正确，符合题意；故选∶D．【解题思路】本题考查平均数、众数、中位数、方差的算法，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的算法是解题的关键．7. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°【答案】A【详解】【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．【详解】解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=65°，∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，∴∠ADC=∠ABC=25°，故选：A．【解题思路】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．8. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于 SKIPIF 1 < 0 AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）A.  SKIPIF 1 < 0  B. 3 C. 2 SKIPIF 1 < 0  D.  SKIPIF 1 < 0 【答案】A【详解】【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴AD=4，AF=2， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；故选A．【解题思路】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）A.  SKIPIF 1 < 0  B.  SKIPIF 1 < 0  C.  SKIPIF 1 < 0  D.  SKIPIF 1 < 0 【答案】B【详解】【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC． 在△DCE中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴cos∠APC＝cos∠EDC＝ SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．【解题思路】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣ SKIPIF 1 < 0 ，y2）、点C（ SKIPIF 1 < 0 ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（　　）A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个【答案】C【详解】【分析】由图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，与x轴的一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，然后可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断（4）（5）．【详解】解：由图象及题意得： SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，与x轴的一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故（1）（3）正确；由图象可知当x=-2时，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故（2）错误；∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣ SKIPIF 1 < 0 ，y2）、点C（ SKIPIF 1 < 0 ，y3）在该函数图象上，∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故（4）错误；由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，∴当x=m时，（m为常数），则有 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，故（5）正确；综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；故选C．【解题思路】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分）11. 分解因式：a3﹣4a＝_____．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】【分析】根据提公因式及平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：原式= SKIPIF 1 < 0 ；故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．【解题思路】本题主要考查提公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．12. 石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，这个数用科学记数法表示为_____．【答案】3.4×10-10【详解】【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂．【详解】 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．【解题思路】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，其中 SKIPIF 1 < 0 ，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数决定．13. 一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是________．【答案】m+n＝10．【详解】【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案．【详解】∵一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，∴m与n的关系是：m+n＝10．故答案为m+n＝10．【解题思路】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键．14. 如图，将⊙O沿弦AB折叠， SKIPIF 1 < 0 恰经过圆心O，若AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，则阴影部分的面积为 _____．【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 【详解】【分析】过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，由题意易得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据特殊三角函数值及扇形面积公式可进行求解阴影部分的面积．【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，如图所示：由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴弓形AB面积为 SKIPIF 1 < 0 ，∴阴影部分的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．【解题思路】本题主要考查扇形面积、轴对称的性质及三角函数，熟练掌握扇形面积、轴对称的性质及三角函数是解题的关键．15. 如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 _____．【答案】4【详解】【分析】过B作 SKIPIF 1 < 0 于D，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角形的面积公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到点A的坐标，再求得点C的坐标，结合一次函数的详解式得到列出方程求解．【详解】解：过B作 SKIPIF 1 < 0 于D，如下图．∵点B在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，∴设 SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 的面积为6，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵点C是AB的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵点C在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：4．【解题思路】本题考查了反比例函数系数k几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．16. 如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 _____cm．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】【分析】由题意易得 SKIPIF 1 < 0 cm，则当点D沿DA方向下滑时，得到 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点N，作 SKIPIF 1 < 0 于点M，然后可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可知点D沿DA方向下滑时，点C′在射线AC上运动，最后问题可求解．【详解】解：由题意得：∠DEC=45°，DE＝12cm，∴ SKIPIF 1 < 0 cm，如图，当点D沿DA方向下滑时，得到 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点N，作 SKIPIF 1 < 0 于点M，∵∠DAM=90°，∴四边形NAMC′是矩形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平分∠NAM，即点D沿DA方向下滑时，点C′在射线AC上运动，∴当 SKIPIF 1 < 0 时，此时四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，CC′的值最大，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，∴当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 SKIPIF 1 < 0 ；故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．【解题思路】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）17. 计算：2sin60°﹣| SKIPIF 1 < 0 ﹣2|+（π﹣ SKIPIF 1 < 0 ）0﹣ SKIPIF 1 < 0 +（﹣ SKIPIF 1 < 0 ）﹣2．【答案】3【详解】【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案．【详解】解：2sin60°﹣| SKIPIF 1 < 0 ﹣2|+（π﹣ SKIPIF 1 < 0 ）0﹣ SKIPIF 1 < 0 +（﹣ SKIPIF 1 < 0 ）﹣2=2× SKIPIF 1 < 0 -2+ SKIPIF 1 < 0 +1-2 SKIPIF 1 < 0 +4= SKIPIF 1 < 0 -2+ SKIPIF 1 < 0 +1-2 SKIPIF 1 < 0 +4=3．【解题思路】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化简，熟练掌握实数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．18. 先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ÷（1﹣ SKIPIF 1 < 0 ），其中x是不等式组 SKIPIF 1 < 0 的整数解．【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，当x=2时，原分式的值为 SKIPIF 1 < 0 【详解】【分析】由题意先把分式进行化简，求出不等式组整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进而代入求解即可．【详解】解：原式= SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 可得该不等式组的解集为： SKIPIF 1 < 0 ，∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，当x=-1，0，1时，分式无意义，∴x=2，∴把x=2代入得：原式= SKIPIF 1 < 0 ．【解题思路】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0．19. 如图，在四边形ABCD中，AB SKIPIF 1 < 0 CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）见详解 （2）△ABC的面积为 SKIPIF 1 < 0 【详解】【分析】（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得 SKIPIF 1 < 0 ，则有△BCE是等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而问题可求解．【小问1详解】证明：∵AB SKIPIF 1 < 0 CD，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∵AB＝2CD，E为AB中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形AECD是平行四边形，∵DA=DC，∴四边形AECD是菱形；【小问2详解】解：由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，∵∠D＝120°，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵E为AB中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴△BCE是等边三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．【解题思路】本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．20. 为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）八年级（1）班学生总人数是 　 　人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为 　 　；（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．【答案】（1）40；补全条形统计图见详解；90°； （2）该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人； （3）选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是 SKIPIF 1 < 0 ．【详解】【分析】（1）利用A类人数除以所占百分比可得抽取总人数；根据总数计算出C类的人数，然后再补图；用360°乘以C类所占的百分比，计算即可得解； （2）利用样本估计总体的方法计算即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生的结果数，然后利用概率公式求解．【小问1详解】解：抽取的学生总数：12÷30%=40（人），C类学生人数：40-12-14-4=10（人），补全统计图如下：扇形统计图中C类所在的扇形的圆形角度数是360°× SKIPIF 1 < 0 =90°；故答案为：40；90°；【小问2详解】解：2500× SKIPIF 1 < 0 =1625（人），答：该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人；【小问3详解】（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的有8种，所以选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是： SKIPIF 1 < 0 ．【解题思路】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．21. 如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．【答案】隧道EF的长度 SKIPIF 1 < 0 米．【详解】【分析】过点A作AG⊥CD于点G，然后根据题意易得AG=EG=DG，则设AG=EG=DG=x，进而根据三角函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有 SKIPIF 1 < 0 ，最后问题可求解．【详解】解：过点A作AG⊥CD于点G，如图所示：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，∴△EAD是等腰直角三角形，∴AG=EG=DG，设AG=EG=DG=x，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；答：隧道EF的长度 SKIPIF 1 < 0 米．【解题思路】本题主要考查解解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图像与函数 SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的图像相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3（1）求k和b的值；（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数 SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的图像上，并说明理由．【答案】（1）b=5，k=6 （2）不在，理由见详解【详解】【分析】（1）把点B的坐标分别代入一次函数与反比例函数详解式进行求解即可；（2）由（1）及题意易得点C的坐标，然后根据旋转的性质可知点C′的坐标，则根据等积法可得点A′的纵坐标，进而根据三角函数可得点A′的横坐标，最后问题可求解．【小问1详解】解：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，∴b=5，k=6；【小问2详解】解：点A′不在反比例函数图像上，理由如下：过点A′作A′E⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图，由（1）可知：一次函数详解式为 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数详解式为 SKIPIF 1 < 0 ，∴点 SKIPIF 1 < 0 ，∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，且它们都以OA为底，∴△OAC与△OAB的面积比即为点C纵坐标与点B纵坐标之比，∴点C的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，∴点C的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，∴点C坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，∴CF=4，OF=1， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由旋转的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ，根据等积法可得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴点A′不在反比例函数图像上．【解题思路】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质是解题的关键．23. 为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？【答案】（1）科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元． （2）社区至少要准备2700元购书款．【详解】【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，然后根据题意可列出方程组进行求解；（2）设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）及题意可分当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时及当 SKIPIF 1 < 0 时，进而问题可分类求解即可．【小问1详解】解：设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．【小问2详解】解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）可得：①当 SKIPIF 1 < 0 时，则有： SKIPIF 1 < 0 ，∵12＞0，∴当m=30时，w有最小值，即为 SKIPIF 1 < 0 ；②当 SKIPIF 1 < 0 时，则有： SKIPIF 1 < 0 ，∵-1＜0，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时，w随m的增大而减小，∴当m=50时，w有最小值，即为 SKIPIF 1 < 0 ；③当 SKIPIF 1 < 0 时，此时科技类图书的单价为 SKIPIF 1 < 0 （元），则有 SKIPIF 1 < 0 ，∵2＞0，∴当m=51时，w有最小值，即为 SKIPIF 1 < 0 ；综上所述：社区至少要准备2700元的购书款．【解题思路】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，注意分类讨论．24. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O半径．【答案】（1）见详解 （2） SKIPIF 1 < 0 【详解】【分析】（1）连接OD，OE，由题意易得OE∥AB，∠A=∠ODA，则有∠A=∠COE=∠DOE=∠ODA，然后可得△COE≌△DOE，进而问题可求证；（2）连接CD，由题意易得∠ADC=90°，然后可证△ADC∽△CDB，则有 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得CD=6，最后利用勾股定理可求解．【小问1详解】证明：连接OD，OE，如图所示：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴∠A=∠ODA，∵点E是边BC的中点，∴OE∥AB，∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，∴∠DOE=∠COE，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴△COE≌△DOE（SAS），∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，∴DE是⊙O的切线；【小问2详解】解：连接CD，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∵AD＝4，BD＝9，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△ADC中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，∴⊙O的半径为 SKIPIF 1 < 0 ．【解题思路】本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．25. 在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 　 　；（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．【答案】（1）135° （2）（2）①补全图形见详解；∠ADB=45°；②2BE-AD= SKIPIF 1 < 0 CE．理由见详解【详解】【分析】（1）由题意得点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，利用圆内接四边形的性质即可求解；（2）①根据题意补全图形即可；同（1），利用圆周角定理即可求解；②过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，证明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论．【小问1详解】解：由题意得：CA=CD=CB，∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，在优弧 SKIPIF 1 < 0 上取点G，连接AG，BG，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠BGA=45°，∵四边形ADBG是圆内接四边形，∴∠ADB=180°-45°=135°，故答案为：135°；小问2详解】①补全图形，如图：由题意得：CA=CD=CB，∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠ADB=45°；②2BE-AD= SKIPIF 1 < 0 CE．理由如下：过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，如图：∵CD=CB，CE是∠BCD的平分线，∴CE是线段BD的垂直平分线，∴BE=DE，∠EFD=90°，由①知∠ADB=45°，∴∠DEF=45°，∴△CEH是等腰直角三角形， ∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA，则∠CAE=∠CDH，∴△AEC≌△DHC，∴AE=DH，∴EH=2ED-AD=2BE-AD，∵△CEH是等腰直角三角形，∴2BE-AD= SKIPIF 1 < 0 CE．【解题思路】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和等腰直角三角形解决问题．26. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． 　　（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝ SKIPIF 1 < 0 时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【答案】（1）2a=b+1，c=-2； （2）△PAB的周长最小值是2 SKIPIF 1 < 0 +2 SKIPIF 1 < 0 ； （3）此时Q（-1，-2），DQ最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．【详解】【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED= SKIPIF 1 < 0 EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴2a=b+1，c=-2；【小问2详解】解：当a= SKIPIF 1 < 0 时，则b=- SKIPIF 1 < 0 ，∴抛物线的详解式为y= SKIPIF 1 < 0 x2- SKIPIF 1 < 0 x-2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A的坐标为(-2，0)，∴点C的坐标为(4，0) ，△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，∵点A、C关于直线x=1对称，∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2 SKIPIF 1 < 0 ，AB=2 SKIPIF 1 < 0 ，∴△PAB的周长最小值是：2 SKIPIF 1 < 0 +2 SKIPIF 1 < 0 ．【小问3详解】解：当a=1时，b=1，∴抛物线的详解式为y=x2+x-2，过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E， ∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED= SKIPIF 1 < 0 EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），　∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ= SKIPIF 1 < 0 QE=- SKIPIF 1 < 0 (t2+2t)= - SKIPIF 1 < 0 (t+1)2+ SKIPIF 1 < 0 ，当t=-1时，DQ有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，此时Q（-1，-2）．【解题思路】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．