初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题学案

这是一份初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题学案，共7页。学案主要包含了基础达标等内容，欢迎下载使用。

知识点1 等腰三角形的概念：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角
拓展： ①. 等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形的所有性质，如三角形内角和定理，三边关系定理等
②. 等腰三角形中的顶角可以是钝角、锐角、直角，但底角只能是锐角
③. 等腰三角形的底边并非是处在最下面那条边，而是和其他两边不相等的边，另外底、腰、顶角、底角只与相等的边有关，而与位置无关
例1：已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长是（ ）
A. 21 B. 20 C. 19 D. 18
知识点2 等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
拓展： 还有以下性质①等腰三角形两腰上的中线、高相等②等腰三角形两底角的平分线相等
例2： 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，
若∠BAC=70°，则∠BAD= 。
知识点3 等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
拓展： 还有以下几种方法判定①定义②判定定理③线段垂直平分线的性质
例3： 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC交AD于F，求证△AEF是等腰三角形
知识点4 等边三角形
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都是60°
判定：①三边都相等的三角形是等边三角形
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③有两个角是60°的三角形是等边三角形
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例4： 如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1=∠2，
BE=CD，则对△ADE的形状最准确的判断是（ ）
等腰三角形 B. 等边三角形
C. 不等边三角形 D. 不能确定
知识点5 含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
例5： 如图，将一副三角尺叠放，若AB=14cm，则阴影部分的面积是 cm2
知识点6 利用对称性解决最短路径问题
在解决最短路径问题时，我们常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化成为容易解决的问题，从而做出最短路径的选择。
例6： 傍晚时分，牧童正在A处准备回到B处的家中，如图，他必须先到小河边饮马，为了节约时间，请你帮助牧童选择一条合适的路线，并证明
小试牛刀：
1. 已知等腰三角形的一边是5cm，一边是7cm,求该三角形的周长
2. 如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，且BD=CE,AD=AE,求证：∠B=∠C，∠BAD=∠CAE
3. 在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂直为D，∠A=40°，求∠DBC的度数
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 1条或3条 D. 不确定
【基础达标】
在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D，E，且BD=CE，则△ABC是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定
2、如图1，在△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（ ）
A. 70° B. 55° C. 50° D. 40°
3、如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数是


图1
图2
如图3，在△ABC中，AB=AC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC=6cm，则AD= cm

图3 图4
如图4，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD,连接CE，DE，使EC=DE，求证△ABC是等边三角形
如图5，△ABD和△ACB的等边三角形，求证BE=CD
如图6，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，若CE=3cm，求BE的长
某供电部门准备在输电主干线上连接一个分支线路，分支点为M，同时向A,B两个居民区送电
如果居民小区A,B在主干线的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？在图上标注出来，并说明理由
如果居民小区A,B在主干线的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？在图上标注出来，并说明理由
课后练习
根据下列条件求等腰三角形的周长
两条边分别是2和5
两条边分别是3和5
（1）在△ABC中，AB=AC，若∠A=50°，则∠B=
在△ABC中，AB=AC，若∠B=50°，则∠A=
若等腰三角形的一个角为80°，则顶角是
若等腰三角形的一个角为100°，则顶角是 ，底角是
3、如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE
如图，BD是△ABC的角平分线，DE//BC交AB于点E，求证：△BED是等腰三角形
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数
如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，过F点作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，求线段DE的长
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°。
求∠DAC的度数
求证：DC=AB
如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE，CD相交于O。
求证：BE=DC
求∠BOC的度数
如图，在△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE=BD
求证：△DAE为等边三角形
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AM平分∠BAC，AM的长为15cm，求BC的长
如图，△ABC，△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD
已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线EF交BC于F，交AB于E，求证：BF=
如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB、AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P
求证：CE=BF
求∠BPC的度数
如图，C、D两厂位于某公路AB的同侧，要在公路边修一个货场P，欲使C、D两厂到货场P的距离和最小，试画出货场P的位置