高中数学高考 2020-2021学年下学期高三5月月考卷 数学（B卷）-教师版

（新高考）2020-2021学年下学期高三5月月考卷

数学（B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】因为命题“，”是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，即，，故选B．

2．已知集合，，若，则实数的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】集合，，

要使，则有，故选D．

3．复数满足，则的虚部为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，

所以，故的虚部为1，故选A．

4．在数列中，，，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】依题意得，，

故数列是以为首项，为公差的等差数列，

则，，所以，故选A．

5．如图，，，是半径为1的圆周上的点，且，，则图中阴影区域的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图所示：

设圆心为O，连接OA，OB，OC，BC，

因为，所以，，，

在中，由余弦定理得

，

因为，所以，解得，

所以，，

扇形OBC的面积为，

所以图中阴影区域的面积为，故选A．

6．已知，且向量与的夹角为120°，又，则的取值范围

为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，

因为，且向量与的夹角为120°，

所以，

又因为，所以，

设，以、为邻边做平行四边形，如图所示：

因为，所以平行四边形是菱形，

而向量与的夹角为120°，所以，

因此，

因为，

所以，因此，所以有，

故选C．

7．已知抛物线，斜率为1的直线过抛物线的焦点，若抛物线上有且

只有三点到直线的距离为，则（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】B

【解析】设，设与抛物线相切，

由，可得，

，解得，且，

平行线与的距离为，所以，故选B．

8．如图所示，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设中点为，连接，

因为是以为斜边的等腰直角三角形，，

所以，，

在平面内，过点作，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，平面，

所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，

则由，得，

由，得，

又因为，所以为等腰直角三角形，

设球心为，中点为，连接，

则，

所以，

即，解得，

所以三棱锥的外接球的表面积为，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知，，且，则可能取的值有（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】BCD

【解析】因为，，且，

所以，

当且仅当，即取等号，

故选BCD．

10．给出下列命题，其中正确命题为（    ）

A．投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）各一次，记硬币正面向上为事件A，骰子向上的点数是2为事件B，则事件A和事件B同时发生的概率为

B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和

C．随机变量服从正态分布，，则

D．某选手射击三次，每次击中目标的概率均为，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中2次的概率为

【答案】ABD

【解析】对于A，事件A的概率为，事件B的概率为，则事件A和事件B同时发生的概率为，故A正确；

对于B，因为，所以两边取对数得，

令，可得，

因为，所以，，所以，故B正确；

对于C，随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称，则，故C错误；

对于D，由题意得，该选手1次未击中，2次击中的概率为，3次都击中的概率，则至少击中2次的概率为，故D正确，

故选ABD．

11．已知函数与，则下列结论中正确的有（    ）

A．将的图象向右平移个单位长度后可得到的图象

B．将的图象向右平移个单位长度后可得到的图象

C．的图象与的图象关于直线对称

D．的图象与的图象关于直线对称

【答案】AD

【解析】对于A，，A正确；

对于B，，，，故B错误；

对于C，的图象关于直线对称的图象为，

显然，故C错误；

对于D，函数关于直线对称的图象为，

即，故D正确，

故选AD．

12．已知，，记，

则（    ）

A．的最小值为  B．当最小时，

C．的最小值为 D．当最小时，

【答案】CD

【解析】由，得，

所以的最小值转化为函数图象的点到直线上的点的距离的最小值，

由，得，

因为与直线平行的直线的斜率为，

所以，解得，则切线点坐标为，

所以到直线的距离为，

所以的最小值为，此时，所以CD正确，A错误，

又过且与直线平行的直线为，

即，

由，解得，即当最小时，，所以B错误，

故选CD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若一组数据的平均数是30，另一组数据的平均数是，则第三组数据的平均数是_________．

【答案】161

【解析】数据共有个，

其平均数为，因此，

故数据的平均数是，

故答案为161．

14．展开式中，含项的系数为_________．

【答案】30

【解析】展开式的通项公式为，

故分别令，可得展开式与的系数分别为，

故展开式的系数为，

故答案为．

15．已知斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，

若椭圆上存在点，使得的重心恰好是坐标原点，则椭圆的离心率________．

【答案】

【解析】设，，坐标分别为，

因为的重心恰好是坐标原点，则，则，

代入椭圆方程可得，

其中，所以……①

因为直线的斜率为，且过左焦点，则的方程为，

联立方程，消去可得，

所以，……②

所以……③，

将②③代入①得，从而，

故答案为．

16．已知函数（为自然对数的底数），则________，的解集是________．

【答案】2，

【解析】（1），

（2）由题，中，，故．

故，画出对应的函数图象．先求出特殊点：

当时，．当时，；当时，，

又当时，或．

(i)当时，；

(ii)当时，，

综上，．

故答案为2，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．

在中，内角的对边分别为，且满足______．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）选①，

正弦定理得，

因为为三角形内角，，所以，即，

因为，所以．

②，，

所以，即，

故，

因为，所以．

③，

由正弦定理得，

因为为三角形内角，，所以，

所以，所以．

（2），，

由余弦定理得，所以，

所以的面积．

18．（12分）在数列中，，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，记数列的前项和为，求．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：因为，所以，

所以，

又，所以．

故数列是以12为首项，3为公比的等比数列．

（2）由（1）可得，即，

则，

．

19．（12分）随着国内疫情得到有效控制，各商家经营活动逐步恢复正常，部分商家还积极推岀新产品，吸引更多的消费者前来消费．某商店推出了一种新的产品，并选择对某一天来消费这种新产品的顾客共人进行满意度调查，为此相关人员制作了如下的列联表：

已知从全部人中随机抽取人为满意的概为．

（1）请完成如上的列联表；

（2）根据列联表的数据，是否能在犯错率不超过的前提下认为“满意度与性别有关系”？

（3）为了进一步改良这种新产品，商家在当天不满意的顾客中，按照性别利用分层抽样抽取了人进行回访，并从这人中再随机抽取人送出奖品，求获奖者恰好是男女的概率．

附注：．

【答案】（1）填表见解析；（2）能在犯错率不超过的前提下认为；（3）．

【解析】（1）根据题意设女顾客满意的有人，

结合列联表知，解得．

于是可完成列联表如下：

（2）根据列联表中的数据可以得到的观测值，

即，

由此可以判断能在犯错率不超过的前提下认为满意度与性别有关系．

（3）不满意的男性人，女性人，共人，

因此抽取的人中，男性为人，女性为人，

名男性记为，，名女性记为，，，，

从中抽取人的情况有种可能，

其中男女的情况有共种，

故概率为．

20．（12分）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是直角梯形，，，，，．

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在点M，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，

求出线段的长度；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，或．

【解析】（1）证明：∵面面且面面，，面，

∴平面，

又平面，∴平面平面．

（2）在平面内，过点A作交于点E，则可知平面．

以A为坐标原点，分别以方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

由，，，

可得，，，，

则，，，

设为平面的法向量，则，即，

取，

设，则，

若直线与平面所成角的正弦值为，

则，解得或，

故存在点M满足题意，此时或．

21．（12分）已知点到的距离与它到直线的距离之比为．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若是轨迹与轴负半轴的交点，过点的直线与轨迹交于两点，

求证：直线的斜率之和为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）设点，由题意可得．

化简整理可得，

所以点的轨迹的方程为．

（2）由（1）可得，，过点D的直线斜率存在且不为0，

故可设l的方程为，，，

由，得，

，

，，

而

，

由于直线过点，所以，

所以（即为定值）．

22．（12分）已知．

（1）试讨论的单调性；

（2)当时，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）函数的定义域为，．

当时，对任意的，，此时函数在上单调递增；

当时，由，可得；由，可得，

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

因此，当时，函数在上单调递增；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）令，

，

①当时，对任意的恒成立，在上单调递减，

所以要使对任意的恒成立的充要条件是，

即，解得，故；

②当时，则，当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，虽然，

但当时，，

所以，对任意的不恒成立，不合乎题意；

③当时，对任意的恒成立，则在上单调递增，

虽然，

但当时，，

所以，对任意的不恒成立，不合乎题意，

综上所述，实数的取值范围是．