高中数学高考 2021届高考考前冲刺卷 数学（十三） 教师版

（新高考）2021届高考考前冲刺卷

数 学（十三）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为集合，，且，

所以实数的取值范围是，故选B．

2．复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，

，所以的虚部为1，故选D．

3．若，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，

即，当且仅当，即时取“=”，

所以的取值范围是，故选A．

4．已知向量、的夹角为，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知可得，

因为，解得，故选B．

5．地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）（取），那么8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的（    ）

A．306倍 B．316倍 C．316倍 D．306倍

【答案】B

【解析】设7级地震释放的能量为，8级地震释放的能量为，

，，

，即8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的倍，故选B．

6．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．内含

【答案】B

【解析】，即，圆心，

因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，

即，解得，

，圆心，半径为；

，圆心，半径为，

圆心间距离为，

因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆与圆的位置关系是相切，故选B．

7．设是首项为正数的等比数列，公比为，则“"是“对任意的正整数，

”成立的（    ）

A．充要条件  B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若，结合是首项为正数的等比数列可知数列的各项均为正数，

据此可得成立，即充分性成立；

反之，取，

则，

据此可知必要性不成立，

即“”是“对任意的正整数，”的充分而不必要条件，故选B．

8．图中长方形的总个数中，其中含阴影部分的长方形个数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】长方形可由横着的5条线段选2条，竖着的7条线段选2条构成，

故有种，

若含阴影部分，则横向共有种可能，纵向有6种可能，共72种可能，

故概率，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．关于变量x，y的n个样本点及其线性回归方程．，

下列说法正确的有（    ）

A．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强

B．相关指数的值越大，表示线性回归方程拟合效果越好

C．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好

D．若，，则点一定在线性回归方程上

【答案】BD

【解析】根据线性相关系数的意义可知，当的绝对值越接近于0时，

两个随机变量线性相关性越弱，则A错误；

用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，则B正确；

拟合效果的好坏是由残差平方和来体现的，残差平方和越大，拟合效果越差，则C错误；

样本中心点一定在回归直线上，则D正确，

故选BD．

10．已知，直线，是的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是（    ）

A．函数为偶函数 B．的图象的一个对称中心为

C．在区间上有个零点 D．在区间上为单调函数

【答案】ABC

【解析】由题意可知，函数的最小正周期为，则，

，所以，

则，所以．

对于A选项，，

所以，函数为偶函数，A选项正确；

对于B选项，，

所以，的图象的一个对称中心为，B选项正确；

对于C选项，当时，，

所以，函数在上有个零点，C选项正确；

对于D选项，当时，，

所以，函数区间上不单调，D选项错误，

故选ABC．

11．已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为2，则（    ）

A．棱台的侧面积为 B．棱台的体积为

C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为

【答案】ACD

【解析】作正四棱台如图所示：

对于A．过作于，，

所以，

所以棱台的侧面积为，所以A正确；

对于B．连接，过作于点，过作于点，

，，，，

上底面面积，下底面面积，

棱台的体积为，故B错误；

对于C．因为为在底面的投影，所以为侧棱与底面所成角，

，所以C正确；

对于D．为侧面与底面所成锐二面角的平面角，

，所以D正确，

故选ACD．

12．定义在上的函数满足，且时，，时，．令，，若函数的零点有个，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】，

自变量每增加2个单位，纵坐标扩大为原来的2倍，

时，，时，，

作出图象如图，

的零点有8个，

即与在上有8个交点，

由图象可知，需满足，，，

解得，

所以可取，，故选BC．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．展开式中的系数为__________．

【答案】

【解析】展开式的通项公式是，

要求，只需，解得，

∴，故答案为．

14．在抗击新冠肺炎疫情期间，甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生；乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生．现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为________．

【答案】

【解析】抽调出的两名医生都是男医生的概率为，

故答案为．

15．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】因为，由正弦定理可得，

又，可得，可得，

因为，可得，

可得，

可得

，

因为，可得，可得，

可得，

故答案为．

16．已知F是抛物线的焦点，设点，点M为抛物线C上任意一点，

且的最小值为3，则_________，若线段AF的垂直平分线交抛物线C于P、Q两点，则四边形APFQ的面积为__________．

【答案】2，

【解析】过M作抛物线C准线的垂线，垂足为，

根据抛物线定义知，

由抛物线方程，当时，，

∴当时，A在抛物线内部，，

当且仅当共线时，最小，即；

当时，A在抛物线上或外部，

当且仅当共线时，最小，

而，得与矛盾，舍去，

综上，．

显然，故AF的中点为，直线AF的斜率，

∴线段AF的中垂线方程为，联立方程组，

消元得，

设，，则，，

∴，

又到直线PQ的距离为，

∴四边形APFQ的面积为，

故答案为2，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对应边，已知．

（1）求A；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，

根据正弦定理可得，

则，

所以，

因为，所以，则．

（2）由（1）知，则，

所以或，即或，

因为为三角形内角，所以，

因此，

所以，

因此，

所以，

又，根据正弦定理可得，则，

因此的面积为．

18．（12分）已知数列中，，前项和为，且满足．

（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）设，求的前项和．

【答案】（1）证明见解析，；（2）．

【解析】（1）因为，所以，

即，所以，且，

所以是以为首项，为公差的等差数列，

所以，所以 ①，

所以 ②．

①②得，

又，满足上式，

所以．

（2）由（1）知，．

所以．

19．（12分）如图①，在平面四边形中，，，且，将沿折起得到四棱锥，如图②，且为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，，问：在线段上是否存在一点使二面角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．

【解析】（1）证明：取的中点，连接，，

∵为的中点，∴，，

∵，，∴，，

∴四边形为平行四边形，∴，

又平面，平面，

∴平面．

（2）解：假设存在点满足题意，取的中点，连接，

∵，，

∴，，

∵，，，、平面，

∴平面，

∵平面，∴，

又，、平面，

∴平面，

故以为原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，

设，，则，

∴，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，∴，

∵平面轴，∴平面的一个法向量为，

∵二面角为，

∴，化简得，

∵，∴，解得，

∴，∴，

故存在点满足题意，且．

20．（12分）乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目．某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼，定期举办乒乓球竞赛，该竞赛全程采取“一局定输赢”的比赛规则，首先每个班级需要对本班报名学生进行选拔，选取3名学生参加校内终极赛与其他班级学生进行同台竞技．

（1）若高三（1）班共有6名男生和4名女生报名，且报名参赛的选手实力相当，求高三（1）班选拔的校内终极赛参赛选手均为男生的概率；

（2）若高三（1）班选拔的选手甲、乙、丙分别与高三（2）班选拔的选手A，B，C对抗，甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，且甲、乙丙三人之间获胜与否互不影响，记为在这次对抗中高三（1）班3名选手获胜的人数，．

（ⅰ）求；

（ⅱ）求随机变量的分布列与数学期望．

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，．

【解析】（1）设“高三（1）班选拔的参数选手均为男生”为事件，则．

（2）（ⅰ）由题意，解得．

（ⅱ）随机变量的可能取值为0，1，2，3，

所以；；

；，

故的分布列为：

所以的数学期望．

21．（12分）已知椭圆的左顶点为，离心率，过点A的直线与椭圆交于点B．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设AB的中点为，射线与椭圆交于点，是否存在直线使的面积是面积的3倍？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，或．

【解析】（1）因为，，且，解得，

所以椭圆C的方程为．

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，

，消化简可得，

设，，故，，

所以，，所以，

故，

所以，

，解得，，

所以，，

由，，且，

即，即，

所以，即，

所以，解得，

所以直线的方程为或．

22．（12分）设函数，．

（1）若，求函数的最大值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，则．

所以当时，，得在上递增；

当时，，得在上递减，

从而函数的最大值为．

（2）法一：设，则，

若，由于，不符合题意，舍去；

若，，

设，则，

对于方程，

其判别式．

①当时，，所以，所以即单调递增，

因为，所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

从而成立；

②当时，设方程有两根，

因为，则，

当时，有，推出即单调递减，

于是，得在上单调递减，

从而在上有，不符合题意，舍去；

③当时，

因为，

而是当的表达式，

根据①中的解题过程可知，，

所以成立，

综上，的取值范围是．

法二：若，令，则，不符合题意；

故只需考虑的情况：

由已知，，可转化为．

设，则，

设，则，

设，则．

易知即在上单调递增，在上单调递减，

从而．

①当时，此时，于是单调递减，即单调递减，

由于，所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以成立；

②当时，因为，，

则在区间内存在，使得，由于在上递增，

所以当时，，则即单调递增，

因为，所以当时，，得单调递减，

于是在上，，与题意不符，

综上，的取值范围是．