高中数学高考 2021届高考考前冲刺卷 数学（一） 教师版

（新高考）2021届高考考前冲刺卷

数 学（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，，

故选B．

2．在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】复数对应的点关于实轴对称，，所以，

所以，故选B．

3．设是两个不同平面，直线，直线，则下列结论正确的是（    ）

A．是的充分条件 B．是的必要条件

C．是的必要条件 D．是的必要条件

【答案】A

【解析】∵，，∴，故是充分条件，故A正确；

由，得或异面，故不是必要条件，故B错误；

由推不出，也可能与平行，故不是的必要条件，故C错误；

由推不出，也可能平行，不是的必要条件，故D错误，

故选A．

4．等差数列的前n项和为，已知，，当时，则（    ）

A．13 B．12 C．24 D．25

【答案】D

【解析】，，，

则，，故选D．

5．如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可知，当点P在点C处时，最小，

此时，

过圆心O作交圆弧于点P，连接AP，此时最大，

过O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延长线于F，

则，

所以的取值范围为，故选D．

6．设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．5

【答案】C

【解析】不妨设，过作双曲线一条渐近线的垂线方程为，

与联立可得；与联立可得，

∵，∴，

整理得，即，

∵，∴，故选C．

7．如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且，，，则长度的最大值为（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】C

【解析】设，则，，，

在中，由正弦定理，得，

，同理，

，

其中，，且为锐角，

所以当时，，故选C．

8．已知定义在上的函数满足，且当时，，

则关于的不等式（其中）的解集为（    ）

A．  B．或

C．  D．或

【答案】A

【解析】任取，由已知得，即，所以函数单调递减．

由可得，

即，所以，

即，即，

又因为，所以，

此时原不等式解集为，故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短．现随机采集了200个停车时间的数据(单位：)，其频率分布直方图如图．超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费(同一组数据用该区间的中点值代替)，则下列说法正确的是（    ）

A．免收停车费的顾客约占总数的20%

B．免收停车费的顾客约占总数的25%

C．顾客的平均停车时间约为58

D．停车时间达到或超过60的顾客约占总数的50%

【答案】BCD

【解析】由题意可知，免收停车费的顾客约占总数的，

故免收停车费的顾客约占总数的25%，故选项A错误，选项B正确；

由频率分布直方图可知，，

则顾客的平均停车时间约为，故选项C正确；

停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的，

故停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的50%，故选项D正确，

故选BCD．

10．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象．已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为π，最大值为2 B．的图象关于点中心对称

C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减

【答案】ACD

【解析】由图可知，，，所以．

又由可得，，

得，且，所以，

所以，

所以，所以的最小正周期为π，最大值为2，选项A正确；

对于选项B，令，得，所以函数图象的对称中心为，由，得，不符合，B错误；

对于选项C，令，得，

所以函数图象的对称轴为直线，当时，，故C正确；

当时，，所以在区间上单调递减，所以选项D正确，

故选ACD．

11．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（    ）

A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行

C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等

【答案】BC

【解析】根据题意，假设直线D1D与直线AF垂直，

又，，平面AEF，

所以平面AEF，所以，

又，所以，与矛盾，

所以直线D1D与直线AF不垂直，所以选项A错误；

取B1C1中点N，连接A1N，GN，

由正方体的性质可知A1N∥AE，GN∥EF，

∵A1N平面AEF，AE平面AEF，∴A1N∥平面AEF，

同理GN∥平面AEF，

∵A1NGN=N，A1N，GN平面A1GN，∴平面A1GN∥平面AEF，

∵A1G平面A1GN，∴A1G∥平面AEF，故选项B正确；

平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，

由题得该等腰梯形的上底，下底，腰长为，

所以梯形面积为，故选项C正确；

假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，

连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误，

故选BC．

12．已知函数，则（    ）

A． B．若有两个不相等的实根、，则

C． D．若，，均为正数，则

【答案】AD

【解析】对于A：，，

又，，，所以，

则有，A正确；

对于B：若有两个不相等的实根、，则，故B不正确；

证明如下：函数，定义域为，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

则且时，有，所以若有两个不相等的实根、，

有，

不妨设，有，要证，只需证，且，

又，所以只需证，

令，

则有，

当时，，，所以有，即在上单调递增，

且，所以恒成立，即，即，即．

对于C：由B可知，在上单调递增，则有，即，

则有，故C不正确；

对于D：令，，均为正数，则，解得，，，

由B可知，在上单调递增，则有，即，即，

所以，故D正确，

故选AD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64，则该展开式中常数项的值等于_________．

【答案】60

【解析】因为所有二项式系数的和等于64，所以，所以，

所以展开式的通项为，

令，得，所以该展开式中常数项的值等于，

故答案为60．

14．与直线关于对称的直线的方程为__________．

【答案】

【解析】联立，解得，

所以直线与直线的交点为，

在直线上取点，

设点关于直线的对称点为，

则，解得，

所以点关于直线的对称点为，

由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为，

即，

故答案为．

15．已知甲、乙两人的投篮命中率都为，丙的投篮命中率为，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为________．

【答案】

【解析】设事件为“三人每人投篮一次，至少一人命中”，则，

，

设，，

则，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，，

即三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为，

故答案为．

16．已知抛物线的焦点，过点作直线交抛物线于，两点，则

______．的最大值为_______．

【答案】1，4

【解析】由题意知，抛物线的焦点坐标为，

设，，，

联立直线与抛物线方程可得，，

由抛物线的限制可得，，

故（*）

由（*）可得，

故，当且仅当时取等号，故的最大值为4．

即答案为1，4．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数，．

（1）求函数的递增区间；

（2）在中，内角满足，且，，求的周长．

【答案】（1）；（2）12．

【解析】（1），

令，，得，，

因为，令，得，

由，

所以，当时，单调递增，即的递增区间为．

（2）因为，所以，

又因为，所以，即，

由余弦定理可知，①

又因为，所以，②

联立①②得，

所以的周长为12．

18．（12分）已知是数列的前项和，，，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：因为，

所以，即．

因为，，所以，

故数列是首项为，公比为的等比数列．

（2）解：由（1）知．

因为，

所以，

所以，

故．

19．（12分）某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试，试题满分为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀．考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64．假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩服从正态分布．

（1）估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？

（2）该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数，若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量5G，否则获赠手机流量1G．假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少G？

参考数据：若，则．

【答案】（1）万人；（2）（万G）．

【解析】（1）由题意，随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64，

即，，所以考试成绩优秀者得分，即，

又由，得，

所以估计该市此次司法考试成绩优秀者人数可达万人．

（2）设每位抽奖者获赠的手机流量为G，则的值为1，2，5，6，10．

可得；；

；；

，

所以随机变量的分布列为：

所以（G）．

因此，估计此次抽奖活动赠予的手机流量总值为（万G）．

20．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）直角梯形中，，，，，

∴，，

∴，∴，

又∵平面，∴，

又∵，∴平面，

又平面，∴平面平面．

（2）∵为的中点，，∴，

以射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，，，

得，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，，，

由（1）知平面，则平面的法向量，

，

所以二面角的余弦值为．

21．（12分）已知函数(其中常数)．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，且，求证：．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1），

记，，

①当，即时，，故，所以在单调递增．

②当，即当时，有两个实根，，

注意到，且对称轴，

故，，

所以当或时，，，单调递增；

当时，，，单调递减．

综上所述，当时，在单调递增；

当时，在和上单调递增，

在上单调递减．

（2）有两个极值点，且，为的极大值点，

由（1）知，，

又，，

，

设，

，

单调递增，，即．

22．（12分）已知椭圆过，两点．

（1）求椭圆M的离心率；

（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为点，都在椭圆上，

所以，，所以，

所以椭圆的离心率．

（2）由（1）知椭圆的方程为，．

由题意知：直线的方程为．

设（，），，．

因为三点共线，所以有，，，

所以，

所以，

所以，

因为三点共线，所以，即，

所以．

所以直线的方程为，

即，

又因为点在椭圆上，所以，

所以直线的方程为，

所以直线过定点．