高中数学高考 2021届高三大题优练2 数列 学生版

例1．已知数列的前n项和为，，，且．

（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；

（2）在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，

并加以解答．

已知数列满足________，求的前n项和．

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．

【答案】（1）证明见解析，；（2）答案见解析．

【解析】（1）当时，因为，所以，

两式相减得，所以．

当时，因为，所以，

又，故，于是，

所以是以4为首项，2为公比的等比数列．

所以，两边除以，得．

又，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以，即．

（2）若选①：，即，

因为，

所以．

两式相减得

，

所以．

若选②：，即，

所以

．

若选③：，即，

所以

．

例2．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．数列满足．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列的前项和为，求证：．

【答案】（1），；（2）证明见解析．

【解析】（1）设数列的公比为，

由，得，

又，得，解的或（舍去），

∴．

又，

∴，即，得．

当时，，

得，

∴，即，

∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

故．

（2）由（1），记，则，

由，

可知．

当为奇数时，；

当为偶数时，，

综上所述，．

例3．如图，在平面直角坐标系中，已知个圆、、、与轴和直线

均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆

．

（1）求数列的通项公式；

（2）记个圆的面积之和为，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，且直线过点，

在直线上，，如下图所示：

设圆、分别切轴于点、，过点作，垂足为点，

则，其中，，，

，

可得，

，则，

为等比数列且首项为，公比为，

．

（2）

．

1．已知等差数列的公差为，前项和为，且．

（1）求公差的值；

（2）若，是数列的前项和，求使不等式成立的的最小值．

2．已知数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

3．已知数列的前项和为，若()，且的最大值为25．

（1）求的值及通项公式；

（2）求数列的前项和．

4．已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）数列的首项，其前项和为，且       ，若数列满足，的前项和为，求的最小值．

在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．

①；②；③．

5．已知递增的等比数列满足：，．

（1）求的前n项和；

（2）设，求数列的前项和．

6．已知数列为各项非零的等差数列，其前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

7．已知为等差数列，数列的前和为，，，___________．

在①，②这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)．

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

8．已知正项等比数列，满足，是与的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

1．【答案】（1）；（2）5．

【解析】（1）由，即，

化简得，解得．

（2）由，，得，

所以，

所以，

由，解得，

所以n的最小值为5．

2．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

当时，，即，

当时，，

，，

验证知，当时，也成立．

综上，．

（2）据（1）求解知，．

又，，，

数列的前项和，①

，②

①-②，得，

，．

3．【答案】（1），()；（2）．

【解析】（1）由题可得，，

所以当为偶数时，，解得；

当为奇数时，，此时无整数解，

综上可得：，．

①时，．

②当时，，

当时也成立．

综上可得：，

所以，()．

（2），①

②

两式相减得，

，

则，则．

4．【答案】（1）；（2）答案见解析．

【解析】（1）设数列的公比为，

则由前3项和为13，且，，成等差数列，

得，所以，

所以，即，解得或，

又因为是递增的等比数列，所以，所以，所以，

所以．

（2）选择①

因为，所以，

两式相减得，即，

所以，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

故，

因此，

因为恒成立，即，，，…，

所以．

选择②

由知是以为首项，2为公差的等差数列，

所以，

所以，

因为，即，，，…，

所以．

选择③

由知是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

所以，所以，

当n为奇数时，由于，故；

当n为偶数时，由于，故，

由在n为偶数时单调递增，

所以当时，，

综上所述：的最小值为．

5．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题可知，，

由递增的等比数列或（舍），

所以．

（2）由（1）知，所以，

所以数列的前项和，

数列的前项和．

6．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

，．

（2），

当为偶数时，

；

当为奇数时，

，

所以．

7．【答案】条件选择见解析；（1），；（2）．

【解析】选①解：

（1）设等差数列的公差为，

，，，，，

，

由，得，

当时，，

即，所以是一个以2为首项，2为公比的等比数列，

．

（2）由（1）知，

，

，

．

选②解：

（1）设等差数列的公差为，

，，，，，

．

，，，

令，得，即，，

．

（2）解法同选①的第（2）问解法相同．

8．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等比数列的公比为，

因为是与的等差中项，

所以，解得或（舍去），

因为数列为正项数列，所以，所以，

因为，所以，

又因为，所以，

所以．

（2）由（1）得，所以，

因为，

所以，

所以，

当为偶数时，，；

当为奇数时，，，

所以．