高中数学高考 2021届高三大题优练7 圆锥曲线与面积有关的问题 学生版

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练7 圆锥曲线与面积有关的问题 学生版，共16页。试卷主要包含了已知椭圆的长轴长为4，离心率为等内容，欢迎下载使用。
     例1．已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）因为的周长为，所以，即．又离心率，解得，，．∴椭圆的方程为．（2）设，，，将代入，消去并整理得，则，，，∵四边形为平行四边形，∴，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，，∴平行四边形的面积为，故平行四边形的面积为定值为．例2．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，右焦点为F，离心率为，其中．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点的直线l与椭圆M交于E，H两点，记与的面积分别为和，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）有条件可知，∴，又，，∴，∴椭圆方程为．（2）当直线l无斜率时，直线方程为，此时，，；当直线l斜率存在时，设直线方程为，设，，联立得，消掉y得，显然，方程有根，，．此时．因为，所以，（时等号成立），所以的最大值为．例3．已知椭圆的左､右焦点分别是，，且离心率为，点为椭圆下上动点，面积的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆的上顶点，直线交椭圆于点，过点的直线(直线的斜率不为1)与椭圆交于两点，点在点的上方．若，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）面积的最，又，所以，解得，即，，故椭圆C的标准方程为．（2）由题可得直线的方程为，联立，得，则，因为，则，得，当直线的斜率为0时，不符合题意；故设直线的方程为，，，由点P在点Q的上方，则，联立，得，则，得，则，得，，又，则，不符合题意，所以，故直线的方程为．  
1．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆与圆的公共点．（1）求的方程；（2）直线与交于，两点，点在上，且在这一段曲线上运动（异于端点与），求面积的取值范围．            2．椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，过的直线l交C于点A、B，且的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点O为坐标原点，求面积S的取值范围．            3．已知椭圆的离心率为，且经过点．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一个动点（异于椭圆的左、右端点）．（1）求椭圆的方程；（2）过点作椭圆的切线，过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值．            4．设点，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且的最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，作，分别交直线于，两点，求四边形的面积的最大值．         5．已知椭圆的长轴长为4，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点，，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4．求证：为定值；②若直线l的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值．         6．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点．求证：与的面积之比为．    
1．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）联立，得，因此的焦点为，设抛物线，则，则，故的方程为．（2）联立，得或，不妨假设，，则．设，则，到直线的距离，因为当时，函数的值域为，所以，则，故面积的取值范围是．2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为的周长为8，由椭圆的定义知，故，又，所以，所以椭圆C的标准方程为．（2）由题意可设直线l的方程为，，，由，显然且，，∴，令，∴，易知S在单调递减，从而．3．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由椭圆的离心率，可得，即有，再结合、、三者的关系可得，椭圆的方程可化为，将点代入上述椭圆方程可得，求解得，所以，，，椭圆的方程为．（2）设直线，联立直线与椭圆的方程可得．若直线与椭圆相切，可得上述方程只有一个解，即有，化简可得，（*）．设点的坐标为，过点作的垂线为，联立与求得，，由上式可得，将（*）代入上式可得，故可知点的轨迹为以原点为圆心，以为半径的圆．是椭圆上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点．的面积为，即面积的最大值为．4．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）设P(x，y)，则，，所以，，当时，取到最小值0，则，，则，所以椭圆C的方程为．（2）将直线l的方程代入椭圆C的方程中，得，由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点可知，化简得．根据点到直线距离公式，可得，．①当时，四边形是梯形，设直线l的倾斜角为θ，则，所以，∴，化简整理．∵，∴当时，，，∴；②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，，所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．5．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．【解析】（1）由题意得，解得，，所以椭圆C的方程为．（2）①点A，B的坐标分别为，．设点P的坐标为(m，n)，由对称性知点Q的坐标为，所以，，所以．又因为点P在椭圆上，所以，即，所以，同理，所以，为定值．②由题意，，，设．由点，位于直线l的两侧，得，解得．由，消去y并整理，得，由判别式，得．当时，显然，判别式．设，，由根与系数的关系得，，．点到直线的距离．因为，所以．点到直线的距离．因为，所以．因此，四边形APBQ的面积．因为，显然，当时，．6．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程，则，，则，，椭圆的方程．（2）证明：设，，，，，则直线的斜率，直线的斜率，直线的方程，直线的斜率，直线的方程，，解得，过做轴，，则，则，与的面积之比为．