高中数学高考 2021届高三大题优练8 圆锥曲线定值定点问题 学生版

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     例1．设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得，，所以，所以椭圆C的方程为．（2）证明：设，，则，，直线，与椭圆方程联立，得，则，，，．因为点三点共线，所以，即，所以，即，整理得．①由，，代入①，整理得，所以直线l的方程为，即直线l恒过定点．例2．已知分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）是定值，定值为．【解析】（1）由为直角三角形，故，又，可得，解得，所以，所以椭圆的方程为．（2）当切线的斜率不存在时，其方程为，将代入，得，不妨设，，又，所以；同理当时，也有．当切线的斜率存在时，设方程为，，，因为与圆相切，所以，即，将代入，得，所以，，又，，又，将代入上式，得，综上，．  
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作直线、交椭圆于两点，设两直线、的斜率分别为，且，探究：直线是否过定点，并说明理由．            2．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线(且)交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，探究：是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．            3．已知椭圆的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）如图，椭圆的上、下顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，．求面积的最大值；②当与相交于点时，试问：点的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．        4．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C有且仅有一个公共点．（1）求椭圆C的方程及A点坐标；（2）设直线l与x轴交于点B．过点B的直线与C交于E，F两点，记点A在x轴上的投影为G，T为BG的中点，直线AE，AF与x轴分别交于M，N两点．试探究是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．    
1．【答案】（1）；（2）直线过定点，理由见解析．【解析】（1）由点是椭圆的一个顶点，可知，又是等腰直角三角形，可得，即，所以，，所以椭圆的标准方程为．（2）若直线的斜率存在，设方程为，依题意，联立，得，由已知，设，，由韦达定理得，，，，，整理得，故直线方程为，即，所以直线过定点；若直线的斜率不存在，设方程为，设，，由已知得，解得，此时直线方程为，显然过点，综上，直线过定点．2．【答案】（1）；（2）是定值，定值为．【解析】（1）由题意得，解得，∴椭圆的方程为．（2）联立，解得，其中，解得，又且，∴或或．设，，则，，∴，即是定值，且定值是．3．【答案】（1）；（2）①；②是，1．【解析】（1）因为点关于直线的对称点为，且在椭圆上，所以，又，∴，则，所以椭圆的方程为．（2）①设直线的方程为，，，点到直线的距离为，，消去整理得，由，可得，且，，∴，设，则，当且仅当，即时等号成立，∴的面积的最大值为．②由题意得，，联立方程组，消去得，又∵，，解得，故点的纵坐标为定值1．4．【答案】（1），；（2）为定值．【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，则，，所以椭圆的方程为，将椭圆的方程与直线的方程联立得，所以，解得，所以，，故椭圆的方程为，此时将代入，得，所以，此时，所以点坐标为．（2）将直线联立，得到，所以，因为，，所以．①当斜率时，，或，，，或，，此时有；②当斜率时，设，代入，得，设，，所以，，所以，则，，同理，所以，对分子：，对分母：，所以，综上，为定值．