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    高中数学高考 2021届高三大题优练11 导数恒成立问题 教师版

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    这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练11 导数恒成立问题 教师版,共10页。试卷主要包含了已知函数,为自然对数的底数,已知函数,等内容,欢迎下载使用。

     

     

     

     

     

    1.已知函数满足,且曲线处的切线方程为

    1)求的值;

    2)设函数,若上恒成立,求的最大值.

    【答案】1;(23

    【解析】1)由已知得

    且函数的图象过点

    解得

    2)由(1)得

    上恒成立,

    上恒成立,

    上恒成立,

    因为,所以,从而可得上恒成立.

    ,则

    ,则恒成立,上为增函数.

    所以存在,使得,得

    且当时,单调递减;

    时,单调递增

    ,所以,代入上式,得

    ,所以

    因为,且,所以,故的最大值为3

    2.已知函数为自然对数的底数.

    1)讨论的单调性;

    2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】1)答案不唯一,具体见解析;(2

    【解析】1

    时,

    单调递减

    单调递增

    单调递增

    单调递减,

    单调递增

    时,单调递增

    时,

    单调递增

    单调递减

    单调递增.

    2)当时,

    是单调增函数,

    是单调增函数,

    ,即时,是单调增函数,

    此时符合题意.

    ,即

    使得

    单调递减,

    与恒成立不符,

    综上所述,

    3.已知函数

    1)若函数没有极值点,求实数的取值范围;

    2)若对任意的恒成立,求实数所满足的关系式,并求实数的取值范围.

    【答案】1;(2)当时,对任意的恒成立.

    【解析】1)因为,所以

    因为函数没有极值点,所以无解或有重根

    无解或有重根.

    时,不满足条件;

    时,,解得

    综上可得,函数没有极值点,则

    2)依题意得:对任意的恒成立,

    ,则恒成立,

    因为,所以的极小值点,

    所以,所以

    所以对任意的,恒有

    时,,矛盾;

    时,显然有

    因为函数

    即函数的图象恒在函数图象的上方,

    是函数处的切线,

    下证:

    ,解得,即上单调递增

    ,解得,即上单调递减,

    所以,即成立

    所以

    综上所述:当时,对任意的恒成立.


    1.已知

    1)求函数的单调区间;

    2)若恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】1)单调递增区间为,递减区间为;(2

    【解析】1)解:的定义域为

    x变化时,变化如下:

    0

    2

    0

    0

    极大值

    极小值

    所以的单调递增区间为,递减区间为

    2)因为定义域为的定义域为

    ()

    所以当时,为减函数;

    时,为增函数,

    所以,则

    所以

    故实数的取值范围为

    2.已知函数

    1)求讨论函数的单调性;

    2)若函数的图象恒在的图象的下方,求实数的取值范围.

    【答案】1)当时,函数上单调递增;当时,不具有单调性;当时,函数上单调递增,在上单调递减;(2

    【解析】1)函数的定义域是

    时,是常数函数,不具有单调性;

    时,对任意恒成立,故函数上单调递增;

    时,令,得,得

    故函数上单调递增,在上单调递减

    综上:当时,函数上单调递增;

    时,不具有单调性;

    时,函数上单调递增,在上单调递减.

    2)函数的图象恒在的图象的下方等价于恒成立,

    ,得,即

    ,则恒成立,所以

    可知

    时,令,得

    所以当时,时,

    因此上单调递增,在上单调递减

    所以,所以

    时,上恒成立

    时,令,得

    所以当时,时,

    因此上单调递增,在上单调递减

    所以

    ,则,解得

    综上所述,实数的取值范围为

    3.已知函数

    1)讨论函数的单调性;

    2)若关于的不等式上恒成立,求实数取值范围.

    【答案】1)见解析;(2

    【解析】1)依题意,定义域为

    ,函数上单调递增;

    ,当时,时,

    故函数上单调递减,在上单调递增;

    ,当时,时,

    故函数上单调递增,在上单调递减.

    2)令,则

    上恒成立.

    因为

    时,上单调递减,

    所以当时,,不合题意,舍去;

    时,因为,所以

    所以,此时上单调递增,,符合题意;

    时,

    因为,所以由,得

    此时上单调递减,

    所以当时,,不合要求,舍去

    综上所述,实数a的取值范围是

    4.已知函数

    1)当在点处的切线与直线平行时,求实数a的值;

    2)若恒成立,求实数a的取值范围.

    【答案】1;(2

    【解析】1

    因为,且直线的斜率为1,所以,即

    2)由已知得对任意的恒成立,

    整理得恒成立.

    ,则

    ,即恒成立,

    上单调递增,

    时,,即为减函数;

    时,,即为增函数,

     


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