高中数学高考 2021届高三大题优练11 导数恒成立问题 学生版

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练11 导数恒成立问题 学生版，共13页。试卷主要包含了已知函数，为自然对数的底数，已知函数，等内容，欢迎下载使用。
     例1．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为．（1）求，，的值；（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值．【答案】（1），，；（2）3．【解析】（1）由已知得，且函数的图象过点，，则，解得，，．（2）由（1）得．若在上恒成立，则在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以，从而可得在上恒成立．令，则，令，则恒成立，在上为增函数．又，，所以存在，使得，得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增，则．又，所以，代入上式，得．又，所以．因为，且，所以，故的最大值为3．例2．已知函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．【解析】（1），①当时，，，，单调递减，，，单调递增；②当时，，，，，单调递增；，，，单调递减，，，，单调递增；③当时，，，单调递增；④当时，，，，，单调递增；，，，单调递减；，，，单调递增．（2）当时，，令，，令，，是单调增函数，∴，∴在是单调增函数，∴．①当，即时，，∴在是单调增函数，此时符合题意．②当，即时，；时，，∴ 使得，∵，，单调递减，∴与恒成立不符，综上所述，．例3．已知函数，．（1）若函数没有极值点，求实数的取值范围；（2）若对任意的恒成立，求实数和所满足的关系式，并求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）当时，对任意的，恒成立．【解析】（1）因为，所以，因为函数没有极值点，所以无解或有重根，即无解或有重根．①时，不满足条件；②时，，解得或，综上可得，函数没有极值点，则或．（2）依题意得：对任意的，恒成立，令，则恒成立，，因为，所以是的极小值点，所以，所以，所以对任意的，恒有．①当时，，，，矛盾；②当时，显然有，因为函数，即函数的图象恒在函数图象的上方，是函数在处的切线，下证：，令，，令，解得，即在上单调递增；令，解得，即在上单调递减，所以，即成立，所以，综上所述：当时，对任意的，恒成立．
1．已知，．（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围．             2．已知函数．（1）求讨论函数的单调性；（2）若函数的图象恒在的图象的下方，求实数的取值范围．               3．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．                  4．已知函数，．（1）当在点处的切线与直线平行时，求实数a的值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．    
1．【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间为；（2）．【解析】（1）解：的定义域为，，令，得或．当x变化时，，变化如下：0200增极大值减极小值增所以的单调递增区间为和，递减区间为．（2）因为定义域为，的定义域为，令()，则，所以当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以，则，所以，故实数的取值范围为．2．【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，不具有单调性；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）．【解析】（1）函数的定义域是，．当时，是常数函数，不具有单调性；当时，对任意恒成立，故函数在上单调递增；当时，令，得；令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，综上：当时，函数在上单调递增；当时，不具有单调性；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．（2）函数的图象恒在的图象的下方等价于恒成立，即，得，即．令，则恒成立，所以，可知．①当时，令，得．所以当时，；当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，所以，所以；②当时，在上恒成立；③当时，令，得．所以当时，；当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，所以，即，则，解得，综上所述，实数的取值范围为．3．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）依题意，定义域为，，若，，函数在上单调递增；若，当时，；当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增；若，当时，；当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减．（2）令，则，，则在上恒成立．因为，①当时，，，在上单调递减，所以当时，，不合题意，舍去；②当时，因为，所以，所以，此时在上单调递增，，符合题意；③当时，，因为，，所以由，得，此时在上单调递减，所以当时，，不合要求，舍去，综上所述，实数a的取值范围是．4．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），因为，且直线的斜率为1，所以，即．（2）由已知得对任意的恒成立，整理得恒成立．令，则，令，则．∵，∴，又，∴，即恒成立，∴在上单调递增，又，∴当时，，即为减函数；当时，，即为增函数，∴，∴．