高中数学高考 2021届高三大题优练12 导数研究根的个数问题 教师版

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练12 导数研究根的个数问题 教师版，共13页。试卷主要包含了已知函数，，已知函数，已知函数，其中等内容，欢迎下载使用。
     例1．已知函数，（）．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）定义域为，，令，解得．当时，在上恒成立，在上单调递增；当时，若时，；若时，，在上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）令，则，过点作的切线，设切点为，则切线斜率，解得，切线斜率，若有两个零点，则与有两个不同的交点，如下图所示：由图象可知：当时，与有两个不同的交点，即若函数有两个零点，的取值范围为．例2．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设函数，若在上有且只有一个零点，求m的取值范围．【答案】（1）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）或．【解析】（1），①若，则，∴在R上单调递增；②若，令，则．当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由题意知，则，易知在上单调递增，且．①若，则，∴在上单调递增，∵在上有且只有一个零点，，，∴，即，∴当时，在上有且只有一个零点；②若，则，，∴存在，使，即，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，又，，在上有且只有一个零点，∴，即．把代入上式可知，因为，∴，从而．综上，当或时，在上有且只有一个零点．例3．已知函数．（1）当时，一次函数对任意，恒成立，求的表达式；（2）讨论关于x的方程解的个数．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）当时，函数，可设，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，又因为，所以，设，因为，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，解得，所以，又由，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为，所以，综上．（2）由方程，整理可得，即，可得，令，可得，即，设，可得．①当时，可得，此时单调递减，又由，所以此时函数在上只有一个零点，即方程只有一个零点；②当可得，令，则．（i）当时，即时，可得，即，此时单调递增，又由，所以此时函数在上只有一个零点，即方程只有一个零点；（ii）当时，即时，此时，即方程有两解，且，，不妨设，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递减，当时，函数取得极大值，当，函数取得极小值，又因为，所以，，当时，，所以在上有唯一的解．因为时，，当时，可得，所以且，解得，所以在上恰有一根，所以可得函数在上恰有三根，综上可得，当或时，方程恰有一根；当时，方程恰有三根．
1．已知函数在处取得极值．（1）求实数的值；（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），在处取得极值，，所以．经验证时，在处取得极值．（2）由（1）知，，所以极值点为，．将，，在内的取值列表如下：012/-0+/极小值由此可得，在内有零点，只需，所以．2．已知函数．（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，，所以曲线在点处的切线的斜率．又，所以切线的方程为，即，所以切线与两坐标轴的交点坐标分别为，，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积．（2）方程，即，因为，所以分离参数得．记，则，记，则，记，显然，所以函数在上单调递减，故当时，，所以当时，，函数在上单调递减，而，所以函数在上有且仅有一个零点．所以当时，，即，函数单调递增；当时，，即，函数单调递减，所以当时，，而，，由题意，原方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解，即直线与函数的图象有两个不同的交点，数形结合可得实数的取值范围为．3．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，函数定义域为，，，又，所求切线方程为，即．（2）函数在上恰有两个不同的零点，等价于在上恰有两个不同的实根，等价于在上恰有两个不同的实根，令，则，当时，，在递减；当时，，在递增，故，又，，，，，即．4．已知函数，其中．（1）若存在唯一极值点，且极值为0，求的值；（2）讨论在区间上的零点个数．【答案】（1）或；（2）答案见解析．【解析】（1）由已知，可得．①若，则当时，恒成立，∴在上单调递增，与存在极值点矛盾；②若，则由，得．∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴存在唯一极小值点，∴，∴或．（2）①当时，在上恒成立，∴在上单调递增．∵，，（i）当时，；（ii）当时，，∴，∴由零点存在性定理，知在上有1个零点；②当时，∵当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴．（i）当时，，此时在上有1个零点；（ii）当时，，此时在上无零点；（iii）当时，，．（a）当，即时，在上有1个零点；（b）当，即时，在上有2个零点；③当时，在上恒成立，在上单调递减．∵，，∴在上有1个零点，综上，当时，在上无零点；当或或时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点．5．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，求函数在区间上的零点的个数．（附：对于任意，都有．）【答案】（1）在，上单调递减，在上单调递增；（2）存在三个零点．【解析】（1）的定义域为，．设，①当，即，，即，当且仅当，时，，所以在上单调递减；②当，即时，令，得，，且．所以当时，，；当时，，，所以在，上单调递减；在上单调递增．（2）由（1）知，当时，在和上单调递减，在上单调递增．，又，所以，又在上单调递增，所以，，．令，则．令，则单调递增，由，得，从而可知，当时，，单调递减，；所以，所以在上单调递增，故，即，又因为，，，，在上单调递减，所以，故在区间上有一个零点，设为，则．又，得，而，所以是的另一个零点．故当时，函数在区间上存在三个零点．