高中数学高考 2021届高三大题优练13 导数极值点偏移 教师版

例1．已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）若在上有两个极值点， ．

（i）求实数a的取值范围；

（ii）求证：．

【答案】（1）递减区间，递增区间为；（2）（i），（ii）证明见解析．

【解析】（1），

令，，

因为，，

所以当时，，单调递减；

所以当时，，单调递增，

所以，

所以当时，；当时，，

的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）（i），

要使在上有两个极值点，，

则在上有两个不同的零点，

①时，由（1）知，，

令，故，所以在上为增函数，

所以，故，故在上无零点，舍去；

②当时，，，，

则在上单调递减 ，故最多只有一个零点，不合题意，舍去；

③当时，由（1）知所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

即要使，解得，

综上所述，a的取值范围为．

（ii）由（i）知，，，

即，故，

所以，

要证，只要证，就要证，

由上可知在上单调递增，

所以只要证，而，

所以只要证，（*）

令，

即，

所以，

故在上单调递增，

所以当时，，

即，，即（*）式成立，

所以得证．

例2．已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）令，若存在，且时，，证明：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）的定义域为，，

当时，，

当时，由，得；由，得，

∴当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在单调递增．

（2），

∵，由题意知，

∴，

令，则，∴在上单调递增，

不妨设，

∵，∴，∴，

∴，

∴，∴，

令，只需证，只需证，

设，则，

∴在递增，∴，即成立，

∴，即．

1．已知函数，．

（1）当时，求的最大值；

（2）当时，

（i）判断函数的零点个数；

（ii）求证：有两个极值点，且．

【答案】（1）；（2）①两个；②证明见解析．

【解析】定义域为，．

当时，令，得；令，得，

故在上单调递增，在上单调递减．

（1）当时，在上单调递增，在上单调递减，

所以．

（2）（i）在上单调递增，在上单调递减，

至多有两个零点．

，，在上有一个零点；

由（1）可证，，

从而，

又，在上有一个零点，

综上，函数有两个零点．

（ii）的定义域为，．

由（i）知有两个零点，

设为，且，且，，

又在上单调递增，在上单调递减．

当或时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

故为的两个极值点．

，同理，

欲证，即证．

，，，

，，

令，即证，即证．

记，，

在上单调递增，故，

命题得证．

2．已知函数．

（1）若存在极值点1，求的值；

（2）若存在两个不同的零点，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），

因为存在极值点为1，所以，即，，

经检验符合题意，所以．

（2），

①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；

②当时，由，得．

当时，，所以为增函数；

当时，，所为减函数，

所以当时，取得极小值，

又因为存在两个不同零点，所以，

即，整理得，

作关于直线的对称曲线，

令，

，

所以在上单调递增，

不妨设，则，

即，

又因为，，且在上为减函数，

故，即，

又，易知成立，故．

3．设函数，，其中a为实数．

（1）求的单调区间；

（2）若有两个零点，，证明：．

【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析．

【解析】（1）由题设可知，的定义域为，，

令，解得．

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．

（2）函数有两个零点等价于方程有两个不等实根，

也等价于函数与的图象有两个交点．

由（1）可知，在递增，在递减．

且当时，；当时，，

故，所以．

欲证，只需证，

因为，故只需证，

又，故只需证明，即证，即，

两边取对数可得，即只需证明．

设，其中，则，

所以在递减，

又，所以，所以．

4．已知函数．

（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数n的值；

（2）若时，函数恰有两个零点，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为，，所以．

（2）当时，，

由题意知

②─①，得，即，③

令，则，且，

又因为，由③知，

所以，

要证，只需证，

即证，即，

令，则，

所以在上单调递增且，

所以当时，，即．

5．已知．

（1）求的单调区间；

（2）设，，为函数的两个零点，求证：．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1），，

当时，，

即的单调递增区间为，无减区间；

当时，，

由，得，

时，；时，，

时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为．

不妨设，由条件知，即，

构造函数，与图象两交点的横坐标为，，

由，可得，

而，，

知在区间上单调递减，在区间上单调递增．

可知，

欲证，只需证，即证，

考虑到在上递增，只需证，

由知，只需证，

令，

则，

即单增，

又，

结合，知，即成立，

即成立．

6．已知函数，．

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）已知，是函数的两个零点，且，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）令，有，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

在处取得最大值，为，

若恒成立，则，即．

（2）方法一：，，

，，

即，，

欲证：，只需证明，只需证明，

只需证明．

设，则只需证明，

即证：．

设，，

在单调递减，，

，所以原不等式成立．

方法二：由（1）可知，若函数有两个零点，有，

则，且，

要证，只需证，

由于在上单调递减，从而只需证，

由，只需证，

又，，

即证，

即证，．

令，，

有在上单调递增，，，

所以原不等式成立．