高中数学高考 2021届高三大题优练13 导数极值点偏移 学生版

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练13 导数极值点偏移 学生版，共16页。试卷主要包含了已知函数，已知函数，，设函数，，其中a为实数，已知等内容，欢迎下载使用。
     例1．已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若在上有两个极值点， ．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：．【答案】（1）递减区间，递增区间为；（2）（i），（ii）证明见解析．【解析】（1），令，，因为，，所以当时，，单调递减；所以当时，，单调递增，所以，所以当时，；当时，，的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）（i），要使在上有两个极值点，，则在上有两个不同的零点，①时，由（1）知，，令，故，所以在上为增函数，所以，故，故在上无零点，舍去；②当时，，，，则在上单调递减 ，故最多只有一个零点，不合题意，舍去；③当时，由（1）知所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即要使，解得，综上所述，a的取值范围为．（ii）由（i）知，，，即，故，所以，要证，只要证，就要证，由上可知在上单调递增，所以只要证，而，所以只要证，（*）令，即，所以，故在上单调递增，所以当时，，即，，即（*）式成立，所以得证．例2．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）令，若存在，且时，，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）的定义域为，，当时，，当时，由，得；由，得，∴当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增．（2），∵，由题意知，∴，令，则，∴在上单调递增，不妨设，∵，∴，∴，∴，∴，∴，令，只需证，只需证，设，则，∴在递增，∴，即成立，∴，即．  
1．已知函数，．（1）当时，求的最大值；（2）当时，（i）判断函数的零点个数；（ii）求证：有两个极值点，且．               2．已知函数．（1）若存在极值点1，求的值；（2）若存在两个不同的零点，求证：．            3．设函数，，其中a为实数．（1）求的单调区间；（2）若有两个零点，，证明：．              4．已知函数．（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数n的值；（2）若时，函数恰有两个零点，证明：．               5．已知．（1）求的单调区间；（2）设，，为函数的两个零点，求证：．             6．已知函数，．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）已知，是函数的两个零点，且，求证：．    
1．【答案】（1）；（2）①两个；②证明见解析．【解析】定义域为，．当时，令，得；令，得，故在上单调递增，在上单调递减．（1）当时，在上单调递增，在上单调递减，所以．（2）（i）在上单调递增，在上单调递减，至多有两个零点．，，在上有一个零点；由（1）可证，，从而，又，在上有一个零点，综上，函数有两个零点．（ii）的定义域为，．由（i）知有两个零点，设为，且，且，，又在上单调递增，在上单调递减．当或时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故为的两个极值点．，同理，欲证，即证．，，，，，令，即证，即证．记，，在上单调递增，故，命题得证．2．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1），因为存在极值点为1，所以，即，，经检验符合题意，所以．（2），①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；②当时，由，得．当时，，所以为增函数；当时，，所为减函数，所以当时，取得极小值，又因为存在两个不同零点，所以，即，整理得，作关于直线的对称曲线，令，，所以在上单调递增，不妨设，则，即，又因为，，且在上为减函数，故，即，又，易知成立，故．3．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析．【解析】（1）由题设可知，的定义域为，，令，解得．当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．（2）函数有两个零点等价于方程有两个不等实根，也等价于函数与的图象有两个交点．由（1）可知，在递增，在递减．且当时，；当时，，故，所以．欲证，只需证，因为，故只需证，又，故只需证明，即证，即，两边取对数可得，即只需证明．设，其中，则，所以在递减，又，所以，所以．4．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）因为，，所以．（2）当时，，由题意知②─①，得，即，③令，则，且，又因为，由③知，所以，要证，只需证，即证，即，令，则，所以在上单调递增且，所以当时，，即．5．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1），，当时，，即的单调递增区间为，无减区间；当时，，由，得，时，；时，，时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为．不妨设，由条件知，即，构造函数，与图象两交点的横坐标为，，由，可得，而，，知在区间上单调递减，在区间上单调递增．可知，欲证，只需证，即证，考虑到在上递增，只需证，由知，只需证，令，则，即单增，又，结合，知，即成立，即成立．6．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）令，有，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，若恒成立，则，即．（2）方法一：，，，，即，，欲证：，只需证明，只需证明，只需证明．设，则只需证明，即证：．设，，在单调递减，，，所以原不等式成立．方法二：由（1）可知，若函数有两个零点，有，则，且，要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，只需证，又，，即证，即证，．令，，有在上单调递增，，，所以原不等式成立．