高中数学高考 2021届小题必练3 不等式-教师版

1．学会解不等式．

2．掌握不等式基本性质．

3．学会利用基本不等式求最值问题．

1．【2020浙江高考真题】已知，且，对于任意均有，

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．

因为，所以且，

设，则的零点为，，．

当时，则，，要使，必有，且，

即，且，所以；

当时，则，，要使，必有，

综上一定有，故选C．

【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题．

2．【2019天津高考真题（理）】设，，，则的最小值为______．

【答案】

【解析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

∵，

∵，，，，∴，

当且仅当，即，时成立，

故所求的最小值为．

【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

一、单选题．

1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，，

所以，

故；

同理，，

故．

因为，

故，

故最低费用为，故选B．

2．已知，且，，则、的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【解析】利用作差法可得出、的大小关系．

已知，且，，则，

所以，，

因此，，故选A．

3．设，，，则下列结论正确的是（    ）

①有最小值；②有最大值；

③有最大值；④有最小值．

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】B

【解析】利用基本不等式判断即可．

由，，，则，

即，解得或（舍去），

当且仅当时取等号，即①正确；

又，即，

解得或（舍去），

当且仅当时取等号，即④正确，

故选B．

4．已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【解析】根据题意可得，求出集合，再讨论的取值范围，求出集合，

由集合的运算结果即可求解．

由题意可得或，

，

当时，，满足；

当时，或，

若，则，解得；

当时，或，

若，则，解得，

综上所述，实数的取值范围是或，故选C．

5．已知的面积为，内切圆半径也为，若的三边长分别为，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用等面积法可得，式子化为，利用基本不等式即可求解．

因为的面积为，内切圆半径也为，

所以，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为4，故选C．

6．已知，，，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知可分析出，，符号，再用基本不等式，然后放缩可得的符号．

因为，，所以，，中两负一正，

不妨设，，，，，

，故选B．

7．设，，则（    ）

A．  B．

C．  D．与的大小关系与有关

【答案】A

【解析】作差，然后配方可得结论．

∵，∴，故选A．

8．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理吨垃圾，最多要处理吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为（    ）

A．吨 B．吨 C．吨 D．吨

【答案】B

【解析】由题意，得到每吨的平均处理成本为，

再结合基本不等式求解，即可得到答案．

由题意，月处理成本（元）与月处理量（吨）的函数关系为，

所以平均处理成本为，其中，

又由，

当且仅当时，即时，每吨的平均处理成本最低．

故选B．

二、多选题．

9．已知，，，则的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】由，，，得，则且．

当时，

，

当且仅当，即时取等号；

当时，

．

当且仅当，即时取等号，

综上，，故选CD．

10．若，，则下列不等关系中不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】当，，，时，，故A错误；

∵，，由不等式的性质可知，，故B、C正确；

∵，若，则；若，则，故D错误，

故选AD．

11．若，，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】对选项A，，

因为，所以，，即，所以，故A错误；

对选项B，，

因为，所以，，即，

所以，故B正确；

对选项C，因为，所以的范围为，故C错误；

对选项D，因为，所以，，

因为，所以，

又因为，所以在为增函数，所以，故D正确，

故选BD．

12．下列选项正确的有（    ）

A．若，则有最小值 B．若，则有最大值

C．若，则 D．若，则

【答案】BCD

【解析】对于A，，

因为，故，故等号不能成立，故A错误；

对于B，当时，；当时，，

当且仅当时等号成立，故的最大值为，故B正确；

对于C，，

因为，故，

而，

因为，故，不同时为零，故，故，

所以，即，故C正确；

对于D，，因为，故，，即，

所以，

故选BCD．

三、填空题．

13．已知，则的最小值是_________．

【答案】

【解析】根据题设条件可得，可得，

利用基本不等式即可求解．

∵，∴且，

∴，

当且仅当，即，时取等号，

∴的最小值为，故答案为．

14．设，，，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】把分子展开化为，

再利用基本不等式求最值．

由，得，得，

，

等号当且仅当，即，时成立，

故所求的最小值为．

15．已知，，，则的最大值是_______，的最小值是_______．

【答案】，

【解析】由，可得，即，

当且仅当时，等号成立，

所以的最大值是．

由，可得，

所以，

当且仅当，即时等号成立．

的最小值是，

故答案为；．

16．已知，函数．

（1）当时，函数的最小值为______；

（2）若在区间上的最大值是，则实数的取值范围为________．

【答案】，

【解析】（1）解：当时，．

当时，，

当且仅当，即时等号成立，即；

当时，，，

当且仅当，即时等号成立，即，

综上所述，函数的最小值为．

（2）解：当时，，当且仅当，即时等号成立，

当时，；当时，，所以．

①当时，，所以，即(舍)；

②当时，成立；

③当时，，

则或，解得或，

综上所述，，

故答案为，．