高中数学高考 2021届小题必练8 圆锥曲线-教师版

这是一份高中数学高考 2021届小题必练8 圆锥曲线-教师版，共16页。试卷主要包含了已知曲线，当时，方程表示的轨迹可以是等内容，欢迎下载使用。
1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
3．了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴，若的斜率为，则的离心率为 ．
【答案】2
【解析】由题可知点的坐标为，所以，且，
代入并化简可得解得或（舍弃）．
【点睛】主要考查双曲线的几何性质、直线的斜率等知识点．
2．【2019全国Ⅰ卷理科】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．
若，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由椭圆的焦点为，，可知，
又，，可设，则，，
根据椭圆的定义可知，得，
所以，，可知，
根据相似可得代入椭圆的标准方程，
得，，
椭圆的方程为．
【点睛】利用椭圆的定义及标准方程运算求解．
一、单选题．
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与轴交于点，的内切圆与边切于点，若，则的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设三角形的内切圆的圆心为，在第一象限，如图所示．
作交于，交于，连接，
则，，．
根据双曲线的定义可知，
而
，
所以，，，即，，
结合，得，
所以双曲线的渐近线方程为，故选A．
2．过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，直线（是
坐标原点）交的左支于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设左焦点为．
因为直线交的左支于点，所以，两点关于原点对称，
连接，，，
因为，且，，
所以四边形为矩形．
因为，所以令，
则，，，，
在中，，即，解得，
在中，，即，解得，故选C．
3．已知双曲线的左、右顶点分别为，，是上一点，且为
等腰三角形，其外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解法一：
不妨设在第一象限，，
因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能．
令，则，，，
由正弦定理可得，所以，
则，，
则，，即．
又点在双曲线上，所以，解得，
则，则，故选C．
解法二：
不妨设在第一象限，因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能．
令，则，，，
由正弦定理可得，所以，
则，，即，，
则，，即，
根据，得，则，故选C．
4．过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于，两点，若，为坐标原点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解法一：
由题意，知，准线，
作于点，与点，过点作于点，交轴于点，
设，则．
由抛物线的定义，知，，，
，．
由，得，即，解得，
所以，故选A．
解法二：
由题意，知，准线，如图，作于点，
设直线的方程为，，，
将代入抛物线方程，得，所以①．
由，得，即，所以②．
联立①②解得，代入抛物线方程，解得．
由抛物线的定义，知，所以，故选A．
5．已知，分别是双曲线的上、下焦点，是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，不妨设点在双曲线的过一、三象限的渐近线上，
因此可得．，，所以，
以为直径的圆的方程为，
又以为直径的圆经过点，所以．
由，得，于是，故选C．
6．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点相同，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线方程知其右焦点坐标为，所以，即，
所以抛物线的方程为．
由题意可设直线的方程为，直线的方程为，
则，
于是由，消去，得，
所以，同理可得．
因为为抛物线的焦点，
所以由抛物线的定义可得
，
当且仅当时，取得最小值，故选C．
7．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，，交抛物线的准线于点，
若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于，抛物线的焦点．
设直线的方程为，代入抛物线的方程，得．
设，，则，．
抛物线的准线方程为，则．
由，得，所以，
即，代入，得，
则，
又，所以，整理得，
解得或（舍去），
所以，所以直线的斜率为．
解法二：如图，设点在第一象限，分别过，作抛物线准线的垂线，垂足为，．
由，得为的中点．
设，则，
根据抛物线的定义得，所以，
在中，，所以，即直线的斜率为，
当点在第一象限时可得直线的斜率为．
综上，直线的斜率为．
8．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意设椭圆的方程为，连接，
令，则，．
由椭圆的定义知，，得，故，则点为椭圆的上顶点或下顶点．
令（为坐标原点），则．
在等腰三角形中，，所以，得．
又，所以，
题意的方程为，故选B．
二、多选题．
9．已知曲线．（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于选项A，∵，∴，方程可变形为，
∴该方程表示焦点在轴上的椭圆，正确；
对于选项B，∵，∴方程可变形为，该方程表示半径为的圆，错误；
对于选项C，∵，∴该方程表示双曲线，令，正确；
对于选项D，∵，，∴方程变形为，该方程表示两条直线，
正确，
综上选ACD．
10．当时，方程表示的轨迹可以是（ ）
A．两条直线B．圆C．椭圆D．双曲线
【答案】ACD
【解析】将分为，，三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项．
当时，，，，．
方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆；
当时，，，方程化为，，表示两条直线；
当时，，，，．
方程可化为，表示焦点在轴上的双曲线，所以曲线不可能表示圆，
故选ACD．
11．已知，分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．以为直径的圆的方程为
C．到双曲线的一条渐近线的距离为D．的面积为
【答案】ACD
【解析】A．代入双曲线渐近线方程得，正确；
B．由题意得，，则以为直径的圆的方程，不是，错误；
C．，渐近线方程为，距离为，正确；
D．由题意得，，
设，根据，解得，，
则的面积为，正确，
故选ACD．
12．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为等腰直角三角形
C．直线的斜率为D．线段的长为
【答案】ACD
【解析】由题意由抛物线的对称性，焦点，准线方程为，
由题意可得直线的斜率不为，由题意设直线的方程为，
设，，由题意可知，，将直线与抛物线联立整理得，，．
A中，因为，所以，即，所以A正确；
B中，由A正确，不可能，更不会或为直角，所以B不正确；
C中，因为，所以，即，，，
所以，解得，，
所以直线的斜率为，所以C正确；
D中，由题意可得弦长，
所以D正确，
故选ACD．
三、填空题．
13．过抛物线焦点的直线与该抛物线相交于，两点，点是的中点，则的值为_______．
【答案】
【解析】由抛物线方程知，．设，，则，
所以由抛物线的定义知．
14．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．
15．已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆上关于轴对称的两点，的中点恰好落在轴上，若，则椭圆的离心率的值为______．
【答案】
【解析】设，因为的中点在轴上，所以，解得，
所以点，，三点共线．
因为，所以，所以垂直平分，所以．
又由椭圆的对称性，知，所以为等边三角形．
因为，所以由，得，
所以．
由椭圆的定义，知，即，所以．
16．能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组，的值是______．
【答案】(答案不唯一，满足要求即可)
【解析】当且，时，方程表示的曲线为圆，
取，则(答案不唯一，满足要求即可)．