高中数学高考 2021届小题必练17 新定义类创新题-教师版
展开高考数学试题坚持以能力为立意,全面考查学生的数学知识、方法和数学思想.以“新定义”为背景的创新试题,通过在试题中给出新的定义,考查学生的现场学习能力(即自学能力)、阅读理解能力、探究与猜想等创新能力,并考查类比迁移、数形结合和归纳转化等数学思想方法.
1.【2020全国Ⅱ卷】周期序列在通信技术中有着重要应用,若序列满足,且存在正整数,使得成立,则称其为周期序列,并称满足的最小正整数为这个序列的周期,对于周期为的序列,是描述其性质的重要指标,下列周期为的序列中,满足的序列是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由知,序列的周期为,由已知,,,
对于选项A,
,
,不满足;
对于选项B,
,不满足;
对于选项D,
,不满足,
故选C.
【点睛】本题考查数列的新定义问题,涉及到周期数列,根据定义将各选项一一代入,然后分别判断即可.
2.【2020山东卷】信息熵是信息论中的一个重要概念,设随机变量所有可能的取值为,
且,,定义的信息熵,( )
A.若,则
B.若,则随着的增大而增大
C.若,则随着的增大而增大
D.若,随机变量所有可能的取值为,且,
则
【答案】AC
【解析】对于A选项,若,则,,所以,
所以A选项正确;
对于B选项,若,则,所以,
当时,;
当时,,
两者相等,所以B选项错误;
对于C选项,若,则,
则随着的增大而增大,所以C选项正确;
对于D选项,若,随机变量的所有可能的取值为,且
,
,
,
由于,所以,所以,
所以,所以,所以D选项错误,
故选AC.
【点睛】本题主要考查新定义“信息熵”的理解和应用,需要结合对数运算、对数函数及不等式性质进行求解.
一、单选题.
1.设向量,,定义一种运算“”.向量,已知,,点在的图象上运动,点在的图象上运动且满足(其中为坐标原点),则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知,点的坐标为,
则,
又因为点在的图象上运动,所以点的坐标满足的解析式,
即,所以函数的最小值为,
故应选B.
2.数列满足:对任意的且,总存在,使得,则称
数列是“数列”,现有以下四个数列:①;②;③;④,其中是“数列”的有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
【解析】令,则,所以数列是“数列”;
令,则,,,所以,所以数列不是“数列”;
令,则,,,所以,所以数列不是“数列”;
令,则,
所以数列是“数列”,
综上,“数列”的个数为.
二、多选题.
3.在上定义运算:,若不等式对任意实数恒成立,则下列实数的
描述中正确的有( )
A.有最大值 B.有最大值
C.有最小值 D.有最小值
【答案】BC
【解析】原不等式等价于,即对任意实数恒成立,
又,∴,解得.
4.能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”,下列函数是椭圆的“亲和函数”的是( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】椭圆的中心为原点,选项BC中函数是奇函数且图像关于原点对称,过原点,故是亲和函数;
选项A非奇非偶函数,选项D为偶函数,故不是亲和函数.
三、填空题.
5.定义运算,则关于正实数的不等式的解集为 .
【答案】
【解析】∵,,∴,
同理可得,
∴不等式的解集为.
6.设全集,用的子集可表示由,组成的位字符串,如:表示的是第个字符为,第个字符为,其余均为的位字符串,并规定空集表示的字符串为.(1)若,则表示位字符串为_______.(2)若,集合表示的字符串为,则满足条件的集合的个数为_______个.
【答案】,
【解析】①表示的位字符串是,则表示的位字符串为;
②若,集合表示的字符串为,
∴集合可能是,,,,故满足条件的集合有个.
7.丹麦数学家琴生()是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果,设函数在上的导函数为,在的导函数为,若在上恒成立,则称函数在上为“凸函数”,已知在上为“凸函数”,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】,,
∵函数在上是“凸函数”,∴在上,恒成立,
∴,即,
令,显然在上单调递增,
∴,∴,
故答案为.
8.如果定义在上的函数满足:对于任意,都有,
则称为“函数”.给出下列函数:①;②;③;
④,其中“函数”的个数是 .
【答案】②③
【解析】∵对于任意给定的不等实数,,不等式恒成立,
∴不等式等价为恒成立,即函数是定义在上的不减函数(即无递减区间).
①函数,则,在函数为减函数,不满足条件;
②,
,函数单调递增,满足条件;
③是定义在上的增函数,满足条件;
④,时,函数单调递增,当时,函数单调递减,不满足条件,
故答案为②③.
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