高中数学高考 2020-2021学年下学期高三4月月考卷 理科数学 学生版(1)

这是一份高中数学高考 2020-2021学年下学期高三4月月考卷 理科数学 学生版(1)，共11页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，函数在上的大致图象为等内容，欢迎下载使用。
020-2021学年下学期高三4月月考卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，若，则实数a等于（    ）A．或3 B．0或 C．3 D．2．已知复数，且为纯虚数，则（    ）A．  B．C．  D．3．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．不充分也不必要条件4．已知等比数列的前项和为，且，，则（    ）A．48 B．42 C．39 D．215．函数在上的大致图象为（    ）A． B．C． D．6．已知中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为（    ）A． B． C． D．7．已知函数在区间上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（    ）A．  B．C．  D．9．中，，内切的半径为，上高为，，现从内随机取一点，则该点取自内的概率是（    ）A． B． C． D．10．设过点的直线与圆交于两点，线段的中点为．若与轴的交点为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．11．若存在，使得函数与的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则的最大值为（    ）A． B． C． D．12．在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（    ）A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中常数项是___________．(用数字作答)14．甲和乙等名志愿者参加进博会四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有___________种不同的参加方法(结果用数值表示)．15．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________．16．已知双曲线的焦点为，是双曲线上一点，且．若的外接圆和内切圆的半径分别为，且，则双曲线的离心率为__________． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知在数列中，，，前n项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和为，求证：．              18．（12分）如图，四棱锥中，，平面平面．若，，，．（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值．            19．（12分）一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望．               20．（12分）已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．               21．（12分）已知实数，函数．（1）若函数在中有极值，求实数的取值范围；（2）若函数有唯一的零点，求证：．（参考数据，）                 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）直接写出曲线的普通方程；（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．        23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是，且，求的最小值．   
2020-2021学年下学期高三4月月考卷理科数学答案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】由，可知，故，解得或．当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确，经检验可知符合题意，故选C．2．【答案】A【解析】复数，则，由纯虚数的定义知，解得，故选A．3．【答案】A【解析】，当时，即时，函数在为增函数，即充分性成立，若函数在区间上单调递增，如当，即时，满足题意，故必要性不成立．即“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件，故选A．4．【答案】C【解析】设等比数列的公比为，当时，，，此时，与，相矛盾，所以，所以，所以，得，，所以，故选C．5．【答案】A【解析】，即，所以函数是奇函数，故排除B、C，当时函数值为正数，故排除D，只有A选项符合题意，故选A．6．【答案】D【解析】∵线段与线段交于点，设 ()，则，即，又∵、、三点共线，则，即，∵，∴当为中点时，最小，此时最大，又，故此时，又因为，∴，即，即的最大值为，故选D．7．【答案】B【解析】，，，，在上恰有1个最大值点和1个最小值点，，解得，故选B．8．【答案】B【解析】设，因为对任意的，，，恒有，所以函数在上为增函数，则在上为增函数，又，而，所以，所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数，所以不等式等价于，即，亦即，可得，解得，故选B．9．【答案】A【解析】设，中点为，切于，，，，故，，故所求概率为，故选A．10．【答案】B【解析】由题意，直线不与轴平行或重合，可设直线方程为，则．圆心到直线的距离．因为直线与圆相交，所以，解得．在中，．又，所以，令，则．当时，，即在上单调递增，因此，可得，所以，故选B．11．【答案】D【解析】设曲线与的公共点为，，，，则，解得或，又，且，则．，，．设，，令，得．当时，；当时，，的最大值为，故选D．12．【答案】B【解析】如图所示，在平面内，，所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，所以，椭圆方程为．点在底面的投影设为点，则点为的中心，，故点正好为椭圆短轴的一个端点，，则，因为，故只需计算的最大值．设，则，则，当时，取最大值，即，因此可得，故的最大值为，故选B． 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】由题意，化简，又由展开式的通项为，当时，可得，所以的展开式中常数项是，故答案为．14．【答案】【解析】由题意得，有且只有2人分到一组，然后再分到四个不同的岗位，则有种方法，甲和乙在同一个岗位服务的分配方法有种，所以甲和乙不在同一个岗位服务的方法有种，故答案为216．15．【答案】【解析】因为，所以，因为，，所以，所以，所以，所以，令，则，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以的取值范围为，故答案为．16．【答案】【解析】双曲线的焦点为，，，在中，由正弦定理得，解得，，设，，在中，由余弦定理得，解得，所以，因为，又，所以，则，所以，整理得，则，解得或（舍去），故答案为． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）在数列中，①∵②且，∴①式÷②式，得 ，∴数列以为首项，公差为1的等差数列，∴，∴，当时，；当时，，不满足上式，∴数列的通项公式为．（2）由（1）知，∵当时，，∴当时，，满足，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，所以．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：设平面平面，，平面，平面，平面，又平面，，，，，又平面平面，平面，平面，．（2）连接，在中，由余弦定理得，，又，为二面角的平面角，以为原点，分别以的方向为轴，轴正方向建立空间直角坐标系，，，．，，，平面，平面平面，可设，由，可得，化简可得…①由（1）知，，化简得…②解方程①②，可得，，，，，二面角的余弦值为．19．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件，因为球的总分为16，即事件指的是甲的得分大于等于8，则．（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分、7分、8分、9分、10分、11分等，，，，，，，所以的分布列为：67891011所以的数学期望．20．【答案】（1）；（2）存在点，使得平分．【解析】（1）由题意可得，双曲线的焦点为，渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为，所以，则椭圆的标准方程为．（2）存在点使得平分，由题知，直线的斜率存在且不为0，又直线过点，则设直线的方程为，，，，联立方程，消去整理可得，所以，，因为，，，所以，即，因为，所以，即，则，化简可得，因为，所以，综上，存在点，使得平分．21．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1），令，得，由，得，在上单调递增，当时，，函数在中有极值，与在上有交点，．（2）在上单调递增，且当时，；当时，，在有唯一零点，设零点为，则有…①，在上单调递减，在上单调递增，又函数有唯一的零点，且当时，；当时，，，即，将①式代入得，记，则为函数的零点，，则当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，且当时，，，当时，，有唯一零点，又，，．22．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）曲线的普通方程为．（2）由曲线的参数方程为（为参数），得曲线的普通方程为，它是一个以为圆心，半径等于的圆，曲线的极坐标方程为，，可得，则曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的点，是曲线上的点，，设，则，当时，，．23．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得，综上，不等式的解集为或．（2）由（1）可知当时，，即，则．因为，所以，即（当且仅当时等号成立）．故的最小值为．