高中数学高考 2021届高考二轮精品专题二 常用逻辑用语（文） 教师版(1)

对于逻辑用语的考查，主要以充分必要条件，命题真假的判断为主．充分必要条件一般以其他知识作为载体进行考查．

1．四种命题的关系

（1）逆命题与否命题互为逆否关系．

（2）互为逆否命题的两个命题同真假；当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

（3）当已知一个命题的真假时，只能由此得出它的逆否命题的真假性，不能判断它的逆命题与否命题的真假．

2．充分、必要条件

（1），则是的充分条件；

（2），则是的必要条件；

（3），则和互为充要条件．

3．简单的逻辑联结词

（1）若命题为真，则命题或有一个为真，或两个都为真；

（2）若命题为真，则要求都为真．

4．全称命题与特称命题互相否定

5．“或”“且”联词的否定形式

“或”的否定形式是“非且非”，“且”的否定形式是“非或非”．

一、选择题．

1．设是两条不同的直线，是平面且，那么“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】当直线在平面内时，由不能推出；

当时，有可能与平行或异面，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．

【点评】本题考查线线与线面位置关系的判断，充分与必要条件的判断，属于基础题．

2．已知命题；命题若，则．下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】命题；知：是真命题，是假命题；

命题若，则；知：是假命题，是真命题，

∴是真命题，故选B．

【点评】本题考查了命题的真假性判断，根据原命题的真假性，应用复合命题的真假判断方法，属于简单题．

3．已知空间中不过同一点的三条直线，，，则“，，在同一平面”是“，，两两相交”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】依题意，，是空间不过同一点的三条直线，

当，，在同一平面时，可能，故不能得出，，两两相交；

当，，两两相交时，设，

根据公理可知确定一个平面，而，

根据公理可知，直线，即，所以，，在同一平面．

综上所述，“，，在同一平面”是“，，两两相交”的必要不充分条件，故选B．

【点评】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题．

4．已知命题p：；命题q：若，则，下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由时，有意义，知p是真命题，

由可知q是假命题，

即均是真命题，故选B．

【点评】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断．

5．给出下列两个命题：命题p：空间任意三个向量都是共面向量；命题：“”是“”的充要条件，那么下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】平行于同一平面的向量叫共面向量，故空间任意三个向量不一定都是共面向量，

例如在三条两两垂直的直线上取向量，则不共面，故命题p错，为假命题；

由，解得；

由，解得，

故“”不是“”的充要条件，故命题错，为假命题，

所以为真命题，

故，，为假命题，为真命题，故选D．

【点评】本题主要考查了向量共面，以及对数函数、指数函数的基本性质、复合命题的真假的判断，

属于基础题型．

6．已知直线是平面和平面的交线，异面直线，分别在平面和平面内．

命题p：直线，中至多有一条与直线相交；

命题：直线，中至少有一条与直线相交；

命题s：直线，都不与直线相交．

则下列命题中是真命题的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意直线是平面和平面的交线，异面直线，分别在平面和平面内，可知，

命题p：直线，可以都与直线相交，所以命题p为假命题；

命题：若直线，都不与直线相交，则直线，都平行于直线，那么直线，平行，与题意，为异面直线矛盾，所以命题为真命题；

命题s：直线，都不与直线相交，则直线，都平行于直线，那么直线，平行，与题意，为异面直线矛盾，所以命题s为假命题；

由复合命题真假可知，对于A，p为假命题，为假命题，所以为假命题；

对于B，为真命题，s为假命题，所以为假命题；

对于C，为真命题，为真命题，所以为真命题；

对于D，为真命题，为假命题，，所以为假命题，

综上可知，C为真命题，故选C．

【点评】本题考查了命题真假判断，复合命题真假判断，点、线、面的位置关系，属于基础题．

7．已知命题p：，；：，，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由于当时，，故命题为假命题；

由于当时，，故命题为真命题，

所以是真命题，故选C．

【点评】本题主要考了复合命题真假关系的判断，结合条件，首先判断命题的真假，再判断复合命题的真假．

8．命题“若，则，使得”的否命题为（    ）

A．若，则， B．若，则，

C．若，则， D．若，则，

【答案】A

【解析】命题“若，则，使得”的否命题为“若，则，”，

故选A．

【点评】本题考查四种命题的应用，考查否命题的写法，属于基础题．

9．下列命题中假命题有：①，使是幂函数；②，使成立；③，使恒过定点；④，不等式成立的充要条件是．则假命题是（    ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【答案】B

【解析】①中，令，即，其，

所以方程无解，故①错；

②中，由，得不成立，故②错；

③中，由，得，

所以恒过定点，故③正确；

④中，当时，成立，

反之，当成立，则恒成立，

所以，故④正确，

故选B．

【点评】命题的真假判断，需要考生对各章节知识点熟悉．

10．下列命题中正确命题的个数是（    ）

①对于命题，使得，则，均有；

②命题“已知，，若，则或”是真命题；

③“”是“”的必要不充分条件；

④已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】对于命题，使得，则，均有，故①不正确；

命题“已知，，若，则或”的逆否命题为：“已知，，若且，

则”为真命题，故②正确；

由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故③正确；

因为，直线平面，所以直线平面，又直线平面，所以，充分性成立，故④不正确，

故选B．

【点评】本题考查命题的真假判断，掌握命题的否定，必要不充分条件的定义，互为逆否命题的等价性是解题关键．

11．下列说法中，正确的是（    ）

A．命题“若，则”的逆命题是真命题

B．命题“存在”的否定是：“任意”

C．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题

D．已知，则“”是“”的充分不必要条件

【答案】B

【解析】A．命题“若，则”的逆命题是“若，则”是假命题，时不成立；

B．命题“存在”的否定是：“任意”，正确；

C．“或”为真命题，则命题“”和命题“”至少有一个为真命题，因此不正确；

D．，则“”是“”的必要不充分条件，因此不正确，

故选B．

【点评】本题考查了简易逻辑的判断方法，属于基础题型．

12．对于实数，，，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则的最小值为．其中是真命题的为（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【答案】B

【解析】对于①，当时，，所以①是假命题；

对于②，当时，成立；

当时，等价于，即，

因为，所以，所以成立；

当时，，所以成立，

所以②是真命题；

对于③，因为，所以，

所以，所以③是真命题；

对于④，因为，且，所以，且，所以，

因为，当且仅当，即时成立，，不合题意，

所以的最小值不是，

又由，因为，所以，

所以是a的增函数，在时没有最小值．所以④是假命题，

故选B．

【点评】本题主要考查了以命题为背景的命题的真假判定，以及不等式的性质和基本不等式的应用，

其中解答中熟记不等式基本性质和基本不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力．

13．以下说法中正确的是（    ）

①，

②若为真命题，则为真命题

③是的充分不必要条件

④“若，则”的逆否命题为真命题

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

【答案】B

【解析】①函数开口向上，，因此，，正确；

②为真命题，则其中一个为假命题或都是真命题，因此不一定为真命题，错误；

③由，得或，因此，

但即是的充分不必要条件，正确；

④，原命题为假命题，因此它的逆否命题为假命题，错误，

故选B．

【点评】本题考查了任意性命题的判断，“且”和“或”的理解，充要条件的判断，原命题与逆否命题真假值的关系．

二、填空题．

14．设，一元二次方程有整数根的充要条件是________．

【答案】3或4

【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．

，

因为是整数，即为整数，所以为整数，且，

又因为，取，验证可知符合题意；

反之时，可推出一元二次方程有整数根．

【点评】本题考了一元二次方程有实根的充要条件及分来讨论的思想，属于基础题．

15．能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】令，则对任意的都成立，但在上不是增函数．

又如，令，则，对任意的都成立，但在上不是增函数．

【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题型．

16．下列命题正确的是______．（写出所有正确命题的序号）

①已知，“且”是“”的充分条件；

②已知平面向量，，“且”是“”的必要不充分条件；

③已知，“”是“”的充分不必要条件；

④命题：“，使且”的否定为 “，都有且”．

【答案】①③

【解析】对于①，已知，“且”是“”的充分条件，正确；

对于②，向量的加法法则可知，“且”不能得到“”；

“”不能得到“且”，故错；

对于③，在单位圆上或圆外任取一点，满足“”，

根据三角形两边之和大于第三边，一定有“”，

在单位圆内任取一点，满足“”，但不满足，“”，故正确；

对于④，命题 “，使且”的否定为 “，都有或”，故错，

故答案为①③．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质，考查向量的运算，考查命题的否定，属于中档题．

一、选择题．

1．命题“，使得”的否定形式是（    ）

A．，使得 B．，使得

C．，使得 D．，使得

【答案】D

【解析】的否定是，的否定是，的否定是，故选D．

【点评】考查了全称命题与特称命题的否定，注意在写命题的否定的时候，把条件当中的特称量词改成全称量词，全称量词改写成特称量词，结论改成否定的形式．

2．已知下列命题：

①“”的否定是“”；

②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；

③“”是“”的充分不必要条件；

④“若，则且”的逆否命题为真命题．

其中真命题的序号为（    ）

A．③④ B．①② C．①③ D．②④

【答案】B

【解析】“”的否定是“”，正确；

已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；

“”是“”的必要不充分条件，错误；

“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误，

故选B．

【点评】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．

3．下列叙述中正确的是（    ）

A．若，则“”的充分条件是“”

B．若，则“”的充要条件是“”

C．命题“对任意，有”的否定是“存在，有”

D．是一条直线，是两个不同的平面，若，则

【答案】D

【解析】当时，推不出，A错；

当时，推不出，B错；

命题“对任意，有”的否定是“存在，有”，C错；

因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D正确．

【点评】本题考查了充分、必要条件，当的充分条件是时，则；当的必要条件是时，则；

当的充要条件是时，则．

4．已知函数（）的部分图象如图所示，其中．即命题，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象．则以下判断正确的是（    ）

A．为真 B．为假 C．为真 D．为真

【答案】C

【解析】由，可得，解得，

结合，可得，

结合，可得，

函数的解析式为，则命题p是真命题．

将函数的图像上所有的点向右平移个单位，

所得函数的解析式为的图像，即命题q为假命题，

则为假命题；为真命题；为真命题；为假命题，

本题选择C选项．

【点评】本题结合三角函数考查复合命题的真假的判断，要求考生三角函数图象及三角函数的性质熟悉，

对逻辑联词的概念清晰，难度中等．

一、选择题．

1．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、

逆否命题三个命题中，真命题的个数是（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【解析】若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限，原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；

其逆命题为：若函数的图象不过第四象限，则函数是幂函数是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．

故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个，故选C．

【点评】本题主要考了四种命题之间的真假关系，属于基础题型．

2．“”是“”的（    ）

A．充要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】，故正确答案是充分不必要条件，故选B．

【点评】本题主要考了充分必要条件，以及对数函数的性质，属于基础题型．

3．记不等式组表示的平面区域为，命题；命题，．给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是（    ）

A．①③ B．①② C．②③ D．③④

【答案】A

【解析】如图，平面区域D为阴影部分，由，得，

即，直线与直线均过区域D，

则p真q假，有假真，所以①③真，②④假，故选A．

【点评】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．

4．命题“且的否定形式是（    ）

A．且 B．或

C．且 D．或

【答案】D

【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“且的否定形式是或，

故选D．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题型．

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