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高中数学高考 2021届高考二轮精品专题九 统计概率（理） 教师版(1)
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这是一份高中数学高考 2021届高考二轮精品专题九 统计概率（理） 教师版(1)，共27页。试卷主要包含了概率的考查主要为，分层抽样，频率分布直方图，最小二乘法，相关系数，回归分析，独立性检验，概率的计算等内容，欢迎下载使用。
专题 9
××
统计概率
命题趋势
1．统计的考查主要为抽样方法、样本估计总体、相关性、以及回归方程、独立性检验，在各种题型当中均有考查．
2．概率的考查主要为：一是古典概型、几何概型、相互独立事件、独立重复试验的考查，难度中等偏易，选择题、填空题的考查形式居多，解答题也有考查；二是离散型随机变量分布列、均值、方差的考查，常与概率结合，主要以解答题的形式考查，难度中等．
考点清单
1．简单随机抽样
定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回的抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．
适用范围：总体含个体数较少．
2．系统抽样
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
（1）先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；
（2）确定分段间隔k，对编号进行分段．当（n是样本容量）是整数时，取；
（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k)，再加k得到第3个个体编号(l+2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
注意：如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．
适用范围：总体含个体数较多．
3．分层抽样
定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样．
适用范围：总体由差异明显的几部分构成．
4．频率分布直方图
极差：一组数据中最大值与最小值的差；
频数：即个数；
频率：频数与样本容量的比值，频率分布直方图中各小长方形的面积表示相应各组的频率；
众数：出现次数最多的数，可以有多个．若无具体样本数据，则频率分布直方图中最高矩形的中点值可视为众数估计值；
中位数：按大小顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，若中间位置有两个数，则取它们的平均数，中位数只有一个．若无具体样本数据，则频率分布直方图中将所有矩形面积平分的直线对应的横坐标可视为中位数的估计值；
平均数：所有样本数值之和除以样本个数的值．若无具体样本数据，则频率分布直方图中将每个矩形对应的区间中点值与该矩形面积相乘，然后全部相加得到的数值可视为该样本的平均值的估计值；
标准差：考察样本数据的分散程度的大小，一般用s表示．标准差越大，则数据离散程度越大；标准差越小，则数据离散程度越小．
．
方差：标准差的平方，用s2表示，也是刻画样本数据的分散程度，与标准差一致．
．
5．最小二乘法
回归直线y=bx+a，其中．
6．相关系数
，
当r为正时，表明变量x与y正相关；当r为负时，表明变量x与y负相关．
r∈[-1，1]，r的绝对值越大，说明相关性越强；r的绝对值越小，说明相关性越弱．
7．回归分析
（1）样本点的中心(x，y)一定满足回归方程；
（2）点(xi，yi)的残差ei=yi-yi；
（3），R2越大，则模型的拟合效果越好；R2越小，则模型的拟合效果越差．
8．独立性检验
K2的观测值．
9．概率的计算
（1）古典概型
P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数．
（2）几何概型
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例．
P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．
（3） 互斥事件概率的计算公式
PA∪B=PA+PB
（4） 对立事件的计算公式
PA=1-PA
（5） 条件概率
10．离散型随机变量
（1） 离散型随机变量的分布列的两个性质
①；②
（2） 均值公式均值性质
①EaX+b=aEX+b；
②若X~Bn，p，则EX=np；
③若X服从两点分布，则EX=p
（3） 方差公式与方差性质
①DaX+b=a2DX
②若X~Bn，p，则DX=np1-p
（4）两个相互独立事件同时发生的概率
PAB=PAPB
（5）独立重复试验的概率计算公式
精题集训
（70分钟）
经典训练题
一、选择题．
1．垃圾分类，人人有责．北京市从2020年5月1日开始实施《北京市生活垃圾管理条例》，北京将生活垃圾分为有害垃圾、可回收物、厨余垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某区四类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“有害垃圾”箱
“可回收物”箱
“厨余垃圾”箱
“其他垃圾”箱
有害垃圾
60
5
5
10
可回收物
5
185
10
10
厨余垃圾
10
40
540
10
其他垃圾
5
15
10
80
则下列结论中不正确的是（ ）
A．厨余垃圾占垃圾总量的60% B．有害垃圾投放正确的概率为75%
C．厨余垃圾投放正确的概率为90% D．生活垃圾投放错误的概率为15%
【答案】D
【解析】厨余垃圾共10+40+540+10=600（吨），占垃圾总量的60%，选项A正确；
有害垃圾投放正确的概率为，选项B正确；
厨余垃圾投放正确的概率为，选项C正确；
生活垃圾投放正确的概率为，生活垃圾投放错误的概率为，
选项D错误，
故选D．
【点评】本题考查了古典概型，属于基础题．
2．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（ ）
A．35 B．40 C．45 D．60
【答案】C
【解析】由题意可得男生抽取的人数是，故选C．
【点评】本题考查了分层抽样的概念，属于基础题．
3．庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班50个同学宅家学习期间上课、休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，…，50．利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为（ ）
7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 1 9 83 1 0 4 9 2 3 1 4 9 3 5 8 2 0 9 3 6 2 4 4 8 6 9 6 9 3 8 7 4 8 1
A．25 B．24 C．29 D．19
【答案】C
【解析】从上面随机数表的第1行的第2列和第3列数字，
依次取出的编号为：25，30，24，29，
故选出来的第4个学生的编号为29，故选C．
【点评】本题考查了随机抽样中的随机数表法，属于基础题．
4．在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：
x
4
6
8
10
12
y
3
由表中数据求得y关于x的回归直线方程，则，，，这四个样本点中，距离回归直线最近的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
根据回归直线方程的性质可知，平均值点在回归直线上，故选C．
【点评】本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
5．在-6，6上随机地取一个数b，则事件“直线y=x+b与圆x2+y2-2y-1=0有公共点”发生的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，圆x2+y2-2y-1=0，圆心坐标为(0，1)，半径为2，
直线y=x+b与圆x2+y2-2y-1=0有公共点，
则，可知b-1≤2，得-1≤b≤3，
则概率为，故选B．
【点评】本题考点为几何概型，属于基础题．
6．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ占近似服从正态分布N95，σ2，且．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ）
A．100 B．125 C．150 D．175
【答案】D
【解析】由题意，成绩X近似服从正态分布N95，σ2，则正态分布曲线的对称轴为X=95，
又由，
根据正态分布曲线的对称性，可得，
所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为人，故选D．
【点评】该题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于99分的概率是解答的关键．
7．已知随机变量满足，其中a，b∈R．若，则Dξ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可得分布列如下：
ξ
-1
0
1
P
b-a
b
a+b
，解得，
∵b-a+b+a+b=1，解得，
，故选B．
【点评】本题考查了随机变量的分布列的性质以及解方差的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
8．（多选）2020年突如其来的新冠肺炎疫情对房地产市场造成明显的冲击，如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断，则判断正确的是（ ）
A．日成交量的中位数是16
B．日成交量超过平均成交量的只有1天
C．10月7日认购量量的增长率大于10月7日成交量的增长率
D．日认购量的方差大于日成交量的方差
【答案】BD
【解析】由拆线图日成交量的中位数是26，A错；
日成交量均值为，大于均值的只有一天，B正确；
10月7日认购量量的增长率为，成交量的增长率为，
显然C错；
日认购量的均值为，
由各数据与均值的差可以看出日认购量的方差大于日成交量的方差，D正确，
故选BD．
【点评】本题考查统计图表，考查拆线图的识别．解题关键是由拆线图得出各数据，然后求得各数据特征．
如中位数，均值，增长率，方差，解题中还要善于估值，如本题中的方差，从而大致比较出大小．
二、解答题．
9．某校的课外兴趣小组的同学们进行了一次关于全市“双创双修”知识答题的问卷调查活动，收集到的200张问卷统计得分汇总制成了一张频率直方图．
（1）求问卷得分的中位数和平均数；
（2）若得分不低于80则为优秀，按分层抽样再次回访8名参加过问卷调查并得分优秀的人，在这8人中还需随机挑选2人做深入访谈，求这两名访谈对象中至少有一人问卷得分超过90的概率．
【答案】（1）中位数是，平均值为；（2）．
【解析】（1）由题意分数在[50，70)间的频率为，
因此中位数在[70，80]间，
设中位数为x，则，解得．
平均值为．
（2）由频率分布直方图知[80，90)，[90，100]两组人数比为，
因此8人中[80，90)这组有6人，[90，100]这组有2人，
∴所求概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图，由频率分布直方图求中位数，均值等，考查古典概型．解题关键是正确认识频率分布直方图，由频率分布直方图确定所有数据．然后根据各个数据特征进行计算．
10．某牛蛙养殖户2013年至2019年牛蛙养殖纯收入y（单位：万元）的数据如下表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号x（年）
1
2
3
4
5
6
7
牛蛙养殖纯收入y（万元）
29
33
36
44
48
52
59
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）记2020年的年份代号为，将x=x0代入（1）中的回归方程求得y=y0，请根据牛蛙养殖户2013年至2019年牛蛙养殖纯收入的数据表，估计2020年牛蛙养殖实际纯收入大于y0的概率．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，
a=y-bx．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由所给数据计算得，
，
，
，
，，
所求回归方程为．
（2）由（1）给出的回归方程可知，x=1时，，
x=2时，，
x=3时，，
x=4时，，
x=5时，，
x=6时，，
x=7时，，
牛蛙养殖户2013年至2019年牛蛙养殖实际纯收入大于y0的概率为．
故2020年牛蛙养殖实际纯收入大于y0的概率为．
【点评】本题考查了利用最小二乘法球线性回归方程，以及古典概型，属于基础题．
11．某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚（每间一亩）进行试点，得到各间大棚产量数据绘制成散点图．光照时长为x（单位：小时），大棚蔬菜产量为y（单位：千斤每亩），记w=lnx．
（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d⋅lnx，哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（结果保留小数点后两位）
（3）根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14小时内拟合程度良好，利用（2）中所求方程估计当光照时长为e2小时（自然对数的底e≈271828），大棚蔬菜亩产约为多少．
参数数据：
290
1024
52
4870
54028
137
15782
2721
参考公式：β关于α的线性回归方程β=m⋅α+n中，，n=β-m⋅α．
【答案】（1）y=c+d⋅lnx更适宜作为回归方程类型；（2）；（3）千斤每亩．
【解析】（1）根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，
因此y=c+d⋅lnx更适宜作为回归方程类型．
（2）记w=lnx．则y=c+d⋅lnx为y=c+d⋅w，
，，
，，
所以，即．
（3）x=e2时，．
【点评】本题考查线性回归直线方程，解题关键是根据已知数据计算出回归直线方程中系数．考查了运算求解能力．求解时，注意题目提供的数据，公式，特别是计算公式不能把数据弄混，否则会得出错误结果．
12．“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示､咨询答疑､导购销售的新型服务方式．某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名．男生中在直播平台购物的人数占男生总数的，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的．
（1）填写2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？
男生
女生
合计
2020年在直播平台购物
2020年未在直播平台购物
合计
（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为X，求X的分布列与期望．
PK2≥k0
005
001
0005
0001
k0
3841
6635
7879
10828
附：n=a+b+c+d，．
【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为该校学生的性别与2020年在直播平台购物有关；（2）分布列见解析，数学期望为2．
【解析】（1）列2×2列联表：
男生
女生
合计
2020年在直播平台购物
40
35
75
2020年未在直播平台购物
20
5
25
合计
60
40
100
，
故没有99%的把握认为该校学生的性别与2020年在直播平台购物有关．
（2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为Y，
则Y=0，1，2，3，4，且，X=Y-(4-Y)=2Y-4，
故X=-4，-2，0，2，4，且，
，
，
，
．
所以X的分布列为
X
0
2
4
P
，E(X)=E(2Y-4)=2E(Y)-4=2×3-4=2，
即．
【点评】（1）独立性检验的题目直接根据题意完成2×2列联表，直接套公式求出K2，对照参数下结论，一般较易；
（2）求离散型随机变量的分布列时，要特别注意．随机变量是否服从二项分布、超几何分布等特殊的分布．
13．疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、、；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．
（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布Nμ，σ2（μ和σ2分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据：210≈145）规定：若Pμ-2σ09544，Pμ-3σ09974，则称变量X “近似满足正态分布Nμ，σ2的概率分布”．
（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是，
获得100元的概率是．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y，求Y的分布列和数学期望．
【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：
∵210≈145，∴μ-2σ=65-2×145=36，μ+2σ=65+2×145=94，
μ-3σ=65-3×145=215，μ+3σ=65+3×145=1085，
得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，
，
∵学生的得分都在30，100间，∴Pμ-3σ09974．
∴学生得分近似满足正态分布N65，210的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的．
（2）设这名同学获得的奖金为Y，则Y的可能值为50、100、150、200，
，，
，，
故Y的分布列为：
Y
50
100
150
200
P
．
【点评】求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率．
14．射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩的一项体育运动．射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身心健康．为了度过愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动．
（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有kk∈N*发子弹，假设张三每次打靶的命中率均为p0
（ⅰ）当n∈N*时，探究数学期望EXn和EXn-1之间的关系；
（ⅱ）若无论m取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望<1时可近似认为枪中没有实弹），求该种情况下最小的射击次数n0．（参考数据：lg2≈0301、lg3≈0477）
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）（ⅰ）n∈N*；（ii）10．
【解析】（1）由题意，X的所有可能取值为：0，1，2，…，，k，
因为张三每次打靶的命中率均为p0
所以X的分布列为
X
0
1
2
．．．
k
P
1-p
p(1-p)
p2(1-p)
．．．
pk-1(1-p)
pk
所以X的数学期望为，
令①，
则②，
所以①-②，可得，
则．
（2）（ⅰ）第n次射击后，可能包含两种情况：第n次射出空包弹或第n次射出实弹；
因为第n次射击前，剩余空包弹的期望为EXn-1，
若第n次射出空包弹，则此时对应的概率为，
因为射击后要填充一发空包弹，所以此时空包弹的数量为EXn-1-1+1=EXn-1；
若第n次射出实弹，则此时对应的概率为，
所以此时空包弹的数量为EXn-1+1，
综上，．
（ⅱ）因为当n=0时，弹夹中有6-m发空包弹，则EX0=6-m；
由（i）可知：n∈N*，则，
所以EXn-6n∈N是首项为-m，公比为的等比数列，
则，即n∈N，
因此弹巢中实弹的发数的期望为，
为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于1，只需，
则，所以，
为使恒成立，只需，
而，
又n∈N，所以最小的射击次数n0=10．
【点评】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望．（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，
如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
高频易错题
一、填空题．
1．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为_________．
x
2
4
5
6
8
y
20
50
60
70
80
【答案】
【解析】，，
所以中心点为(5，56)，
所以，解得，
所以回归直线方程为，
所以当x=20时，，
故答案为．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．
2．正方形ABCD的边长为2，以A为起点作射线交边BC于点E，则的概率为____________．
【答案】
【解析】当时，，此时，
由几何概型概率公式得的概率为，
故答案为．
【点评】解决本题的关键是找出测度为角度，利用几何概型概率公式进行求解．
精准预测题
一、选择题．
1．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是（ ）
32 21 18 34 2978 64 54 07 3252 42 06 44 3812 23 43 56 7735 78 90 56 4284 42 12 53 3134 57 86 07 3625 30 07 32 8623 45 78 89 0723 68 96 08 0432 56 78 08 4367 89 53 55 7734 89 94 83 7522 53 55 78 3245 77 89 23 45
A．623 B．368 C．253 D．072
【答案】B
【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，依次得到253，313，457，860（舍），736（舍），253（舍），007，328，623，457（舍），889（舍），072，368，
由此可得出第8个样本编号是368，故选B．
【点评】本题考查了随机抽样当中的随机数表法，属于基础题．
2．某校高三年级有学生500人，为了调查某次考试数学成绩情况，现将学生数学成绩按001、002、003、⋯、500随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本（等距抽样），已知抽得第一组的编号为003号，则抽得第3组的编号是（ ）
A．013 B．023 C．033 D．043
【答案】B
【解析】∵样本容量为50，∴样本间隔为500÷50=10，且3+2×10=23．
因此，抽得第3组的编号是023，故选B．
【点评】本题考查了系统抽样的方法，属于基础题．
3．张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的A、B两酒店中的一个人住．两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如下的茎叶图．记A、B两酒店的宗合评分数据的均值为xA，xB，方差为SA2，SB2，若以此为依据，下述判断较合理的是（ ）
A．因为xA>xB，SA2>SB2，应选择A酒店 B．因为xA>xB，，应选择A酒店
C．因为xASB2，应选择B酒店 D．因为xA
【解析】由题意，根据茎叶图中的数据，可得，
，
可得xA>xB；
又由，
，
可得，故选B．
【点评】本题考查了茎叶图的知识，根据茎叶图求出平均数是关键．
4．已知O为△ABC内一点，且现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△ABO内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
设A，M，N是圆O的圆周上的三等分点，B为OM的中点，ON=3OC，
此时满足．
设圆O的半径r=3，则△ABO的面积为，
△ABC的面积为，
故所求概率，故选C．
【点评】本题主要考查了几何概型的概率计算，求出相应的三角形面积，结合概率公式是解决本题的关键，是中档题．
5．我国古代对开方运算进行了深人研究，不仅会开平方，而且能开高次方，解题的思路是从二项式乘方入手的，贾宪、杨辉等均作出了巨大贡献．他们找出了由(1+x)n展开式的二项式系数所组成的一个三角形，人们称之为杨辉三角．
(1+x)1 1 1 (1+x)2 1 2 1 (1+x)3 1 3 3 1 (1+x)4 1 4 6 4 1
它的组成法则是：最外侧的两个数字是1，中间的数字等于其“肩”上（上一行）两个数字之和．这个规律给我们计算二项展开式提供了很大方便．令，执行如图所示的程序框图，则输出结束的P=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题中法则可知，
因为a0，a1，…，a6中，只有3个偶数，所以，故选A．
【点评】本题结合算法框图考查了古典概型，属于基础题．
二、填空题．
6．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程y=067x+549．
零件数x（个）
10
20
30
40
50
加工时间y（min）
62
75
80
90
现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为___________．
【答案】68
【解析】设阴影部分的数据为M，由表中数据得：，，
由于由最小二乘法求得回归方程，
将x=30，，代入回归直线方程，得M=68，
故答案为68．
【点评】本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
三、解答题．
7．为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人．
（1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是多少；
（2）若甲同学每次质量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为，，，请问甲同学参加三次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数X分布列及期望．
【答案】（1）458；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）540分以上的频率为，
要达到60%的二本率，所以，460，540之间频率为，
因为460，540的频率总和为，
所以模拟二本线应在440，460之间，设为x，
则，解得x=458．
（2）至少2科及格的概率，
，，k=0，1，2，3，
0
1
2
3
．
【点评】求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率．
8．随着人们生活水平的提高，越来越多的人愿意花更高的价格购买手机，某机构为了解市民使用手机的价格情况，随机选取了100人进行调查，并将这100人使用的手机价格按照，，……，分成6组，制如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；
（2）求这100个数据的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中间作代表)；
（3）利用分层抽样从手机价格在和的人中抽取6人，并从这6人中抽取2人进行访谈，求抽取的2人的手机价格在不同区间的概率．
【答案】（1）；（2）平均数约为3720，中位数约为3750；（3）．
【解析】（1）由题意知，，
解得．
（2）平均数为．
前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，
故中位数落在第四组．
设中位数为x，则，解得x=3750．
所以平均数约为3720，中位数约为3750．
（3）由图知手机价格在和的人数之比为1:2，
故利用分层抽样抽取的6人中，来自范围内的有2人，设A1，；
来自范围内的有4人，设为B1，B2，B3，B4，
则从这6人中抽取2人的结果有C62共15种，
其中抽取的2人的手机价格在不同区间的共8种，
故抽取的2人手机价格在不同区间的概率为．
【点评】本题考查了对频率分布直方图的分析理解，以及通过频率分布直方图求解中位数、平均数、另外还考了古典概型，属于中档题．
9．2020年国庆节期间，甲、乙等5名游客准备从庐山、三清山、婺源、井冈山4个景点中选取一个景点游览，设每人只选择一个景点，且选择任一个景点是等可能的．
（1）分别求“恰有2人选择井冈山”和“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率；
（2）记X表示5人中选择景点的个数，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）所有可能的选择方式有种，“恰有2人选择井冈山”的方式有C52⋅33种，
从而“恰有2人选择井冈山”的概率为，
“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的方式有3⋅43种，
从而“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率为．
（2）X的所有可能值为1，2，3，4．
又，，，．
故X的分布列为
1
2
3
4
∴X的数学期望．
【点评】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：
（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；
（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验．
10．某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[12，13]，(13，14]，⋯，(17，18]这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于159米的学生有20人，其身高分别为159，159，161，161，162，163，163，164，165，165，165，165，166，167，168，169，169，171，172，174，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．
（1）求该校学生身高大于160米的频率，并求频率分布直方图中m、n、t的值；
（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X为抽取学生的身高在(14，16]的人数求X的分布列和数学期望．
【答案】（1），，；（2）分布列见解析，数学期望为．
【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于160米的有18人，
所以该校学生身高大于160米的频率为，
记δ为学生身高，则，
，
，
所以，，．
（2）由（1）知学生身高在14，16的概率p=2×035=07，
随机变量X服从二项分布X~B3，07，
则px=0=C30×1-073=0027，
px=1=C31×1-072×07=0189，
px=2=C32×1-071×072=0441，
px=3=C33×073=0343，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0027
0189
0441
0343
．
【点评】第二问关键在判断变量服从二项分布，容易写出分布列．
11．习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活．当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词．某地一研究团队统计了该地区1000位居民的日行步数，得到如下表格：
日行步数（单位：千步）
人数
20
60
170
200
300
200
50
（1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过8千步为标准进行分层抽样，从上述1000位居民中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关；
日行步数≤8千步
日行步数>8千步
总计
40岁以上
100
40岁以下（含40岁）
50
总计
200
（2）以这1000位居民日行步数超过8千步的频率，代替该地区1位居民日行步数超过8千的概率，每位居民日行步数是否超过8千相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20位居民，其中日行步数超过8千的最有可能（即概率最大）是多少位居民?
附：
PK2≥k0
005
0025
0010
k0
3841
5024
6635
，其中n=a+b+c+d．
【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关；（2）最有可能是11位居民．
【解析】（1）1000人中，步数不超过8千步的有20+60+170+200=450人，超过8千步有550人，
按分层抽样，抽取的人数中不超过8千步的有90人，超过8千步的有110人，列联表如下：
日行步数≤8千步
日行步数>8千步
总计
40岁以上
40
60
100
40岁以下（含40岁）
50
50
100
总计
90
110
200
，
故没有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关．
（2）每位居民步数超过8千的概率为，
设步数超过8千的最有可能是x位居民，
，，
∵x∈Z，∴x=11，即最有可能是11位居民．
【点评】解本题第二问概率最大的问题时，利用二项分布求随机变量ξ在第ξ=k的概率最大时，
可根据列不等式组求解．
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特此声明
江西多宝格教育咨询有限公司
专题 9
××
统计概率
命题趋势
1．统计的考查主要为抽样方法、样本估计总体、相关性、以及回归方程、独立性检验，在各种题型当中均有考查．
2．概率的考查主要为：一是古典概型、几何概型、相互独立事件、独立重复试验的考查，难度中等偏易，选择题、填空题的考查形式居多，解答题也有考查；二是离散型随机变量分布列、均值、方差的考查，常与概率结合，主要以解答题的形式考查，难度中等．
考点清单
1．简单随机抽样
定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回的抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．
适用范围：总体含个体数较少．
2．系统抽样
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
（1）先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；
（2）确定分段间隔k，对编号进行分段．当（n是样本容量）是整数时，取；
（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k)，再加k得到第3个个体编号(l+2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
注意：如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．
适用范围：总体含个体数较多．
3．分层抽样
定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样．
适用范围：总体由差异明显的几部分构成．
4．频率分布直方图
极差：一组数据中最大值与最小值的差；
频数：即个数；
频率：频数与样本容量的比值，频率分布直方图中各小长方形的面积表示相应各组的频率；
众数：出现次数最多的数，可以有多个．若无具体样本数据，则频率分布直方图中最高矩形的中点值可视为众数估计值；
中位数：按大小顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，若中间位置有两个数，则取它们的平均数，中位数只有一个．若无具体样本数据，则频率分布直方图中将所有矩形面积平分的直线对应的横坐标可视为中位数的估计值；
平均数：所有样本数值之和除以样本个数的值．若无具体样本数据，则频率分布直方图中将每个矩形对应的区间中点值与该矩形面积相乘，然后全部相加得到的数值可视为该样本的平均值的估计值；
标准差：考察样本数据的分散程度的大小，一般用s表示．标准差越大，则数据离散程度越大；标准差越小，则数据离散程度越小．
．
方差：标准差的平方，用s2表示，也是刻画样本数据的分散程度，与标准差一致．
．
5．最小二乘法
回归直线y=bx+a，其中．
6．相关系数
，
当r为正时，表明变量x与y正相关；当r为负时，表明变量x与y负相关．
r∈[-1，1]，r的绝对值越大，说明相关性越强；r的绝对值越小，说明相关性越弱．
7．回归分析
（1）样本点的中心(x，y)一定满足回归方程；
（2）点(xi，yi)的残差ei=yi-yi；
（3），R2越大，则模型的拟合效果越好；R2越小，则模型的拟合效果越差．
8．独立性检验
K2的观测值．
9．概率的计算
（1）古典概型
P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数．
（2）几何概型
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例．
P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．
（3） 互斥事件概率的计算公式
PA∪B=PA+PB
（4） 对立事件的计算公式
PA=1-PA
（5） 条件概率
10．离散型随机变量
（1） 离散型随机变量的分布列的两个性质
①；②
（2） 均值公式均值性质
①EaX+b=aEX+b；
②若X~Bn，p，则EX=np；
③若X服从两点分布，则EX=p
（3） 方差公式与方差性质
①DaX+b=a2DX
②若X~Bn，p，则DX=np1-p
（4）两个相互独立事件同时发生的概率
PAB=PAPB
（5）独立重复试验的概率计算公式
精题集训
（70分钟）
经典训练题
一、选择题．
1．垃圾分类，人人有责．北京市从2020年5月1日开始实施《北京市生活垃圾管理条例》，北京将生活垃圾分为有害垃圾、可回收物、厨余垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某区四类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“有害垃圾”箱
“可回收物”箱
“厨余垃圾”箱
“其他垃圾”箱
有害垃圾
60
5
5
10
可回收物
5
185
10
10
厨余垃圾
10
40
540
10
其他垃圾
5
15
10
80
则下列结论中不正确的是（ ）
A．厨余垃圾占垃圾总量的60% B．有害垃圾投放正确的概率为75%
C．厨余垃圾投放正确的概率为90% D．生活垃圾投放错误的概率为15%
【答案】D
【解析】厨余垃圾共10+40+540+10=600（吨），占垃圾总量的60%，选项A正确；
有害垃圾投放正确的概率为，选项B正确；
厨余垃圾投放正确的概率为，选项C正确；
生活垃圾投放正确的概率为，生活垃圾投放错误的概率为，
选项D错误，
故选D．
【点评】本题考查了古典概型，属于基础题．
2．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（ ）
A．35 B．40 C．45 D．60
【答案】C
【解析】由题意可得男生抽取的人数是，故选C．
【点评】本题考查了分层抽样的概念，属于基础题．
3．庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班50个同学宅家学习期间上课、休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，…，50．利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为（ ）
7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 1 9 83 1 0 4 9 2 3 1 4 9 3 5 8 2 0 9 3 6 2 4 4 8 6 9 6 9 3 8 7 4 8 1
A．25 B．24 C．29 D．19
【答案】C
【解析】从上面随机数表的第1行的第2列和第3列数字，
依次取出的编号为：25，30，24，29，
故选出来的第4个学生的编号为29，故选C．
【点评】本题考查了随机抽样中的随机数表法，属于基础题．
4．在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：
x
4
6
8
10
12
y
3
由表中数据求得y关于x的回归直线方程，则，，，这四个样本点中，距离回归直线最近的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
根据回归直线方程的性质可知，平均值点在回归直线上，故选C．
【点评】本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
5．在-6，6上随机地取一个数b，则事件“直线y=x+b与圆x2+y2-2y-1=0有公共点”发生的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，圆x2+y2-2y-1=0，圆心坐标为(0，1)，半径为2，
直线y=x+b与圆x2+y2-2y-1=0有公共点，
则，可知b-1≤2，得-1≤b≤3，
则概率为，故选B．
【点评】本题考点为几何概型，属于基础题．
6．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ占近似服从正态分布N95，σ2，且．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ）
A．100 B．125 C．150 D．175
【答案】D
【解析】由题意，成绩X近似服从正态分布N95，σ2，则正态分布曲线的对称轴为X=95，
又由，
根据正态分布曲线的对称性，可得，
所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为人，故选D．
【点评】该题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于99分的概率是解答的关键．
7．已知随机变量满足，其中a，b∈R．若，则Dξ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可得分布列如下：
ξ
-1
0
1
P
b-a
b
a+b
，解得，
∵b-a+b+a+b=1，解得，
，故选B．
【点评】本题考查了随机变量的分布列的性质以及解方差的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
8．（多选）2020年突如其来的新冠肺炎疫情对房地产市场造成明显的冲击，如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断，则判断正确的是（ ）
A．日成交量的中位数是16
B．日成交量超过平均成交量的只有1天
C．10月7日认购量量的增长率大于10月7日成交量的增长率
D．日认购量的方差大于日成交量的方差
【答案】BD
【解析】由拆线图日成交量的中位数是26，A错；
日成交量均值为，大于均值的只有一天，B正确；
10月7日认购量量的增长率为，成交量的增长率为，
显然C错；
日认购量的均值为，
由各数据与均值的差可以看出日认购量的方差大于日成交量的方差，D正确，
故选BD．
【点评】本题考查统计图表，考查拆线图的识别．解题关键是由拆线图得出各数据，然后求得各数据特征．
如中位数，均值，增长率，方差，解题中还要善于估值，如本题中的方差，从而大致比较出大小．
二、解答题．
9．某校的课外兴趣小组的同学们进行了一次关于全市“双创双修”知识答题的问卷调查活动，收集到的200张问卷统计得分汇总制成了一张频率直方图．
（1）求问卷得分的中位数和平均数；
（2）若得分不低于80则为优秀，按分层抽样再次回访8名参加过问卷调查并得分优秀的人，在这8人中还需随机挑选2人做深入访谈，求这两名访谈对象中至少有一人问卷得分超过90的概率．
【答案】（1）中位数是，平均值为；（2）．
【解析】（1）由题意分数在[50，70)间的频率为，
因此中位数在[70，80]间，
设中位数为x，则，解得．
平均值为．
（2）由频率分布直方图知[80，90)，[90，100]两组人数比为，
因此8人中[80，90)这组有6人，[90，100]这组有2人，
∴所求概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图，由频率分布直方图求中位数，均值等，考查古典概型．解题关键是正确认识频率分布直方图，由频率分布直方图确定所有数据．然后根据各个数据特征进行计算．
10．某牛蛙养殖户2013年至2019年牛蛙养殖纯收入y（单位：万元）的数据如下表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号x（年）
1
2
3
4
5
6
7
牛蛙养殖纯收入y（万元）
29
33
36
44
48
52
59
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）记2020年的年份代号为，将x=x0代入（1）中的回归方程求得y=y0，请根据牛蛙养殖户2013年至2019年牛蛙养殖纯收入的数据表，估计2020年牛蛙养殖实际纯收入大于y0的概率．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，
a=y-bx．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由所给数据计算得，
，
，
，
，，
所求回归方程为．
（2）由（1）给出的回归方程可知，x=1时，，
x=2时，，
x=3时，，
x=4时，，
x=5时，，
x=6时，，
x=7时，，
牛蛙养殖户2013年至2019年牛蛙养殖实际纯收入大于y0的概率为．
故2020年牛蛙养殖实际纯收入大于y0的概率为．
【点评】本题考查了利用最小二乘法球线性回归方程，以及古典概型，属于基础题．
11．某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚（每间一亩）进行试点，得到各间大棚产量数据绘制成散点图．光照时长为x（单位：小时），大棚蔬菜产量为y（单位：千斤每亩），记w=lnx．
（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d⋅lnx，哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（结果保留小数点后两位）
（3）根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14小时内拟合程度良好，利用（2）中所求方程估计当光照时长为e2小时（自然对数的底e≈271828），大棚蔬菜亩产约为多少．
参数数据：
290
1024
52
4870
54028
137
15782
2721
参考公式：β关于α的线性回归方程β=m⋅α+n中，，n=β-m⋅α．
【答案】（1）y=c+d⋅lnx更适宜作为回归方程类型；（2）；（3）千斤每亩．
【解析】（1）根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，
因此y=c+d⋅lnx更适宜作为回归方程类型．
（2）记w=lnx．则y=c+d⋅lnx为y=c+d⋅w，
，，
，，
所以，即．
（3）x=e2时，．
【点评】本题考查线性回归直线方程，解题关键是根据已知数据计算出回归直线方程中系数．考查了运算求解能力．求解时，注意题目提供的数据，公式，特别是计算公式不能把数据弄混，否则会得出错误结果．
12．“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示､咨询答疑､导购销售的新型服务方式．某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名．男生中在直播平台购物的人数占男生总数的，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的．
（1）填写2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？
男生
女生
合计
2020年在直播平台购物
2020年未在直播平台购物
合计
（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为X，求X的分布列与期望．
PK2≥k0
005
001
0005
0001
k0
3841
6635
7879
10828
附：n=a+b+c+d，．
【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为该校学生的性别与2020年在直播平台购物有关；（2）分布列见解析，数学期望为2．
【解析】（1）列2×2列联表：
男生
女生
合计
2020年在直播平台购物
40
35
75
2020年未在直播平台购物
20
5
25
合计
60
40
100
，
故没有99%的把握认为该校学生的性别与2020年在直播平台购物有关．
（2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为Y，
则Y=0，1，2，3，4，且，X=Y-(4-Y)=2Y-4，
故X=-4，-2，0，2，4，且，
，
，
，
．
所以X的分布列为
X
0
2
4
P
，E(X)=E(2Y-4)=2E(Y)-4=2×3-4=2，
即．
【点评】（1）独立性检验的题目直接根据题意完成2×2列联表，直接套公式求出K2，对照参数下结论，一般较易；
（2）求离散型随机变量的分布列时，要特别注意．随机变量是否服从二项分布、超几何分布等特殊的分布．
13．疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、、；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．
（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布Nμ，σ2（μ和σ2分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据：210≈145）规定：若Pμ-2σ
（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是，
获得100元的概率是．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y，求Y的分布列和数学期望．
【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：
∵210≈145，∴μ-2σ=65-2×145=36，μ+2σ=65+2×145=94，
μ-3σ=65-3×145=215，μ+3σ=65+3×145=1085，
得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，
，
∵学生的得分都在30，100间，∴Pμ-3σ
∴学生得分近似满足正态分布N65，210的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的．
（2）设这名同学获得的奖金为Y，则Y的可能值为50、100、150、200，
，，
，，
故Y的分布列为：
Y
50
100
150
200
P
．
【点评】求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率．
14．射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩的一项体育运动．射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身心健康．为了度过愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动．
（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有kk∈N*发子弹，假设张三每次打靶的命中率均为p0
（ⅰ）当n∈N*时，探究数学期望EXn和EXn-1之间的关系；
（ⅱ）若无论m取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望<1时可近似认为枪中没有实弹），求该种情况下最小的射击次数n0．（参考数据：lg2≈0301、lg3≈0477）
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）（ⅰ）n∈N*；（ii）10．
【解析】（1）由题意，X的所有可能取值为：0，1，2，…，，k，
因为张三每次打靶的命中率均为p0
所以X的分布列为
X
0
1
2
．．．
k
P
1-p
p(1-p)
p2(1-p)
．．．
pk-1(1-p)
pk
所以X的数学期望为，
令①，
则②，
所以①-②，可得，
则．
（2）（ⅰ）第n次射击后，可能包含两种情况：第n次射出空包弹或第n次射出实弹；
因为第n次射击前，剩余空包弹的期望为EXn-1，
若第n次射出空包弹，则此时对应的概率为，
因为射击后要填充一发空包弹，所以此时空包弹的数量为EXn-1-1+1=EXn-1；
若第n次射出实弹，则此时对应的概率为，
所以此时空包弹的数量为EXn-1+1，
综上，．
（ⅱ）因为当n=0时，弹夹中有6-m发空包弹，则EX0=6-m；
由（i）可知：n∈N*，则，
所以EXn-6n∈N是首项为-m，公比为的等比数列，
则，即n∈N，
因此弹巢中实弹的发数的期望为，
为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于1，只需，
则，所以，
为使恒成立，只需，
而，
又n∈N，所以最小的射击次数n0=10．
【点评】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望．（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，
如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
高频易错题
一、填空题．
1．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为_________．
x
2
4
5
6
8
y
20
50
60
70
80
【答案】
【解析】，，
所以中心点为(5，56)，
所以，解得，
所以回归直线方程为，
所以当x=20时，，
故答案为．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．
2．正方形ABCD的边长为2，以A为起点作射线交边BC于点E，则的概率为____________．
【答案】
【解析】当时，，此时，
由几何概型概率公式得的概率为，
故答案为．
【点评】解决本题的关键是找出测度为角度，利用几何概型概率公式进行求解．
精准预测题
一、选择题．
1．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是（ ）
32 21 18 34 2978 64 54 07 3252 42 06 44 3812 23 43 56 7735 78 90 56 4284 42 12 53 3134 57 86 07 3625 30 07 32 8623 45 78 89 0723 68 96 08 0432 56 78 08 4367 89 53 55 7734 89 94 83 7522 53 55 78 3245 77 89 23 45
A．623 B．368 C．253 D．072
【答案】B
【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，依次得到253，313，457，860（舍），736（舍），253（舍），007，328，623，457（舍），889（舍），072，368，
由此可得出第8个样本编号是368，故选B．
【点评】本题考查了随机抽样当中的随机数表法，属于基础题．
2．某校高三年级有学生500人，为了调查某次考试数学成绩情况，现将学生数学成绩按001、002、003、⋯、500随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本（等距抽样），已知抽得第一组的编号为003号，则抽得第3组的编号是（ ）
A．013 B．023 C．033 D．043
【答案】B
【解析】∵样本容量为50，∴样本间隔为500÷50=10，且3+2×10=23．
因此，抽得第3组的编号是023，故选B．
【点评】本题考查了系统抽样的方法，属于基础题．
3．张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的A、B两酒店中的一个人住．两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如下的茎叶图．记A、B两酒店的宗合评分数据的均值为xA，xB，方差为SA2，SB2，若以此为依据，下述判断较合理的是（ ）
A．因为xA>xB，SA2>SB2，应选择A酒店 B．因为xA>xB，，应选择A酒店
C．因为xA
【解析】由题意，根据茎叶图中的数据，可得，
，
可得xA>xB；
又由，
，
可得，故选B．
【点评】本题考查了茎叶图的知识，根据茎叶图求出平均数是关键．
4．已知O为△ABC内一点，且现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△ABO内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
设A，M，N是圆O的圆周上的三等分点，B为OM的中点，ON=3OC，
此时满足．
设圆O的半径r=3，则△ABO的面积为，
△ABC的面积为，
故所求概率，故选C．
【点评】本题主要考查了几何概型的概率计算，求出相应的三角形面积，结合概率公式是解决本题的关键，是中档题．
5．我国古代对开方运算进行了深人研究，不仅会开平方，而且能开高次方，解题的思路是从二项式乘方入手的，贾宪、杨辉等均作出了巨大贡献．他们找出了由(1+x)n展开式的二项式系数所组成的一个三角形，人们称之为杨辉三角．
(1+x)1 1 1 (1+x)2 1 2 1 (1+x)3 1 3 3 1 (1+x)4 1 4 6 4 1
它的组成法则是：最外侧的两个数字是1，中间的数字等于其“肩”上（上一行）两个数字之和．这个规律给我们计算二项展开式提供了很大方便．令，执行如图所示的程序框图，则输出结束的P=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题中法则可知，
因为a0，a1，…，a6中，只有3个偶数，所以，故选A．
【点评】本题结合算法框图考查了古典概型，属于基础题．
二、填空题．
6．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程y=067x+549．
零件数x（个）
10
20
30
40
50
加工时间y（min）
62
75
80
90
现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为___________．
【答案】68
【解析】设阴影部分的数据为M，由表中数据得：，，
由于由最小二乘法求得回归方程，
将x=30，，代入回归直线方程，得M=68，
故答案为68．
【点评】本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
三、解答题．
7．为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人．
（1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是多少；
（2）若甲同学每次质量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为，，，请问甲同学参加三次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数X分布列及期望．
【答案】（1）458；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）540分以上的频率为，
要达到60%的二本率，所以，460，540之间频率为，
因为460，540的频率总和为，
所以模拟二本线应在440，460之间，设为x，
则，解得x=458．
（2）至少2科及格的概率，
，，k=0，1，2，3，
0
1
2
3
．
【点评】求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率．
8．随着人们生活水平的提高，越来越多的人愿意花更高的价格购买手机，某机构为了解市民使用手机的价格情况，随机选取了100人进行调查，并将这100人使用的手机价格按照，，……，分成6组，制如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；
（2）求这100个数据的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中间作代表)；
（3）利用分层抽样从手机价格在和的人中抽取6人，并从这6人中抽取2人进行访谈，求抽取的2人的手机价格在不同区间的概率．
【答案】（1）；（2）平均数约为3720，中位数约为3750；（3）．
【解析】（1）由题意知，，
解得．
（2）平均数为．
前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，
故中位数落在第四组．
设中位数为x，则，解得x=3750．
所以平均数约为3720，中位数约为3750．
（3）由图知手机价格在和的人数之比为1:2，
故利用分层抽样抽取的6人中，来自范围内的有2人，设A1，；
来自范围内的有4人，设为B1，B2，B3，B4，
则从这6人中抽取2人的结果有C62共15种，
其中抽取的2人的手机价格在不同区间的共8种，
故抽取的2人手机价格在不同区间的概率为．
【点评】本题考查了对频率分布直方图的分析理解，以及通过频率分布直方图求解中位数、平均数、另外还考了古典概型，属于中档题．
9．2020年国庆节期间，甲、乙等5名游客准备从庐山、三清山、婺源、井冈山4个景点中选取一个景点游览，设每人只选择一个景点，且选择任一个景点是等可能的．
（1）分别求“恰有2人选择井冈山”和“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率；
（2）记X表示5人中选择景点的个数，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）所有可能的选择方式有种，“恰有2人选择井冈山”的方式有C52⋅33种，
从而“恰有2人选择井冈山”的概率为，
“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的方式有3⋅43种，
从而“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率为．
（2）X的所有可能值为1，2，3，4．
又，，，．
故X的分布列为
1
2
3
4
∴X的数学期望．
【点评】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：
（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；
（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验．
10．某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[12，13]，(13，14]，⋯，(17，18]这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于159米的学生有20人，其身高分别为159，159，161，161，162，163，163，164，165，165，165，165，166，167，168，169，169，171，172，174，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．
（1）求该校学生身高大于160米的频率，并求频率分布直方图中m、n、t的值；
（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X为抽取学生的身高在(14，16]的人数求X的分布列和数学期望．
【答案】（1），，；（2）分布列见解析，数学期望为．
【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于160米的有18人，
所以该校学生身高大于160米的频率为，
记δ为学生身高，则，
，
，
所以，，．
（2）由（1）知学生身高在14，16的概率p=2×035=07，
随机变量X服从二项分布X~B3，07，
则px=0=C30×1-073=0027，
px=1=C31×1-072×07=0189，
px=2=C32×1-071×072=0441，
px=3=C33×073=0343，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0027
0189
0441
0343
．
【点评】第二问关键在判断变量服从二项分布，容易写出分布列．
11．习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活．当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词．某地一研究团队统计了该地区1000位居民的日行步数，得到如下表格：
日行步数（单位：千步）
人数
20
60
170
200
300
200
50
（1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过8千步为标准进行分层抽样，从上述1000位居民中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关；
日行步数≤8千步
日行步数>8千步
总计
40岁以上
100
40岁以下（含40岁）
50
总计
200
（2）以这1000位居民日行步数超过8千步的频率，代替该地区1位居民日行步数超过8千的概率，每位居民日行步数是否超过8千相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20位居民，其中日行步数超过8千的最有可能（即概率最大）是多少位居民?
附：
PK2≥k0
005
0025
0010
k0
3841
5024
6635
，其中n=a+b+c+d．
【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关；（2）最有可能是11位居民．
【解析】（1）1000人中，步数不超过8千步的有20+60+170+200=450人，超过8千步有550人，
按分层抽样，抽取的人数中不超过8千步的有90人，超过8千步的有110人，列联表如下：
日行步数≤8千步
日行步数>8千步
总计
40岁以上
40
60
100
40岁以下（含40岁）
50
50
100
总计
90
110
200
，
故没有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关．
（2）每位居民步数超过8千的概率为，
设步数超过8千的最有可能是x位居民，
，，
∵x∈Z，∴x=11，即最有可能是11位居民．
【点评】解本题第二问概率最大的问题时，利用二项分布求随机变量ξ在第ξ=k的概率最大时，
可根据列不等式组求解．
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