高中数学高考 2021届高考二轮精品专题十二 复数、算法、推理证明（理） 教师版(1)

1．对于复数的考查，一般比较简单，通常在选择题的前两道题，或者填空题当中出现，考查的内容一般为复数的概念、复数的运算、复数的几何意义；

2．程序框图考查频率有降低，不再作为必考题出现，考查的形式多为选择题或填空题，考查的内容一般为循环结构的程序框图的输出功能以及判断框内循环体结束条件的填空；

3．推理与证明单独的考查的频率比较低，一般作为工具应用到解题当中．

一、复数

1．形如的数叫做复数，复数通常用字母表示．

全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母表示．其中，分别叫做复数的实部与虚部．

2．复数相等

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．

如果，那么且．

特别地，，．

两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小．

3．复数的分类

复数，时为实数；时为虚数，，时为纯虚数，

即复数（，）．

4．复平面

直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，

除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数对应复平面内的点．

5．共轭复数

（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．

复数的共轭复数用表示，即如果，那么．

（2）共轭复数的性质

①；②非零复数是纯虚数；③，；④；；．

（3）两个共轭复数的积

两个共轭复数，的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即．

6．复数的模

向量的模叫做复数的模(或长度)，记作或．

由模的定义可知（显然，）．

当时，复数表示实数，此时．

7．复数的加法与减法

两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，

即．

8．复数的乘法

（1）复数的乘法法则

复数乘法按多项式乘法法则进行，设，，

则它们的积．

（2）复数乘法的运算律

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对任何，

有① (交换律)；

② (结合律)；

③ (分配律)．

9．复数的除法

复数除法的实质是分母实数化，

即

．

二、算法

程序框图（也叫流程图、算法框图）是由一些框图和带箭头的流线组成的，其中框图表示各种操作的类型，框图中的文字和符合表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序．流程图通常由输入框、输出框、流程线、处理框、判断框、起止框等构成．

三、推理证明

1．类比推理的常见内容为：

平面几何中的点类比空间几何当中的线；

平面几何当中的线类比空间几何中的面；

平面几何中的三角形类比空间几何中的三棱锥；

平面几何中的圆类比空间几何中的球．

一、选择题．

1．设复数，那么在复平面内复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】，，

因此，复数在复平面内对应的点位于第三象限，故选C．

【点评】本题考查了复数平面及复数的运算．

2．复数z满足（i为虚数单位），则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】由，得，

∴，，故选C．

【点评】本题考查了复数的运算及复数的模长，属于基础题．

3．已知为实数，复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，若为纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵为纯虚数，∴，

则，∴，则，故选B．

【点评】本题考查了复数的运算，以及共轭复数，纯虚数的概念，属于基础题．

4．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，

又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：

所以，故选D．

【点评】常见的复数与轨迹的结论：

（1）：表示以为圆心，半径为的圆；

（2）且：表示以为端点的线段；

（3）且：表示以为焦点的椭圆；

（4）且：表示以为焦点的双曲线．

5．复数，则复数在复平面内所对应的点在第（    ）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】A

【解析】，

对应的点为，在第一象限，故选A．

【点评】本题主要考了复数的运算，属于基础题．

6．若是关于的实系数方程的一根，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得，即，

所以，解得，因此，，故选A．

【点评】本题考查了实系数一元次方程的虚根成对原理，即实系数一元次方程如果有虚根，他们的虚根成对出现，且互为共轭，考查了复数模的计算方法，属于基础题．

7．若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则等于（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【解析】因为，所以，

所以，所以，

所以，故选B．

【点评】本题考查了复数的代数形式的运算问题，也考查了复数相等问题，是基础题．

8．《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，这是一个伟大创举．其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”．下面的程序框图体现了该算法的主要过程，若输入，，时，则输出的结果为（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

【答案】B

【解析】按照程序框图运行程序，输入：，，，

，则，，；

，则，，；

，则，，；

，则，，；

，满足，输出，，故选B．

【点评】本题考查了框图循环结构的运行，属于基础题．

9．如图是一个计算：的算法流程图，若输入，则由上到下的两个空白内分别应该填入（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】观察数据发现，，都相隔2，

故空白处应该填，排除B、D；

当输入后，，

选项A：符合，

故选A．

【点评】本题考查算法中的循环结构，根据程序框图补充条件，属于基础题．

10．执行如图所示的程序框图，若输出的数，那么判断框内可以填写的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

，

，

，

，

，循环终止，输出，

故填故答案为C．

【点评】本题考查算法中的循环结构，根据程序框图补充条件，属于基础题．

11．甲､乙､丙三人从红，黄､蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为（    ）

A．红､黄､蓝 B．黄､红､蓝 C．蓝､红､黄 D．蓝､黄､红

【答案】B

【解析】丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的年龄小；

乙比戴蓝帽的人年龄大，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的年龄大，即戴蓝帽的是丙；

综上，甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为黄､红､蓝，故选B．

【点评】本题考查推理论证能力、应用意识及创新意识，考查逻辑推理的核心素养．逻辑推理题通常借助表格或图进行求解，把数学对象之间的逻辑关系表示出来进行判断即可．

12．用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，左边，共个连续自然数相加，

当时，左边，

所以从到，等式左边需增添的项是，

故选C．

【点评】本题考点为数学归纳法，考生需要熟悉数学归纳法的形式，属于基础题．

二、填空题．

13．已知复数满足，则________．

【答案】

【解析】因为，所以，

设，则，

故，，

联立，解得，，

则，故答案为．

【点评】本题考查了复数的概念，复数的运算，复数的模，属于基础题．

14．如图所示，满足如下条件：

①第行首尾两数均为；

②表中的递推关系类似“杨辉三角”．

则第行的第2个数是__________．

【答案】

【解析】由图表可知第行的第2个数为：，

故答案为．

【点评】本题是一道找规律的题目，考查归纳推理，掌握归纳推理找规律的方法是解题的关键．

一、填空题．

1．设、均为实数，关于的方程在复数集上给出下列两个结论：

①存在、，使得该方程仅有两个共轭虚根；

②存在、，使得该方程最多有个互不相等的根．

其中正确的是（    ）

A．①与②均正确  B．①正确，②不正确

C．①不正确，②正确  D．①与②均不正确

【答案】A

【解析】令，为正实数，则存在两个共轭的虚根，如，则存在两个共轭虚根，，

故①正确；

若为实数，则方程可看做，只需保证有两个正解即可，此时方程有四个实根；

若为虚数，则设，有，

等价于，所以，

又为虚数，所以，则有，即，，即最多有两个根，所以方程最多有6个解．

只需即可，如，方程有四个实根，有，两个虚根，故②正确，

故选A．

【点评】本题考查复数范围内求解，属于中档题．

易错点：（1）根为复数时，设，代入计算，可得；

（2）把握求实根和虚根时，两个方程之间的关系，保证一个最多方程4个根，一个方程最多2个根．

一、选择题．

1．复数（    ）

A．0 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，故选D．

【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．

2．已知复数，，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，复数，

可得，

则，故选C．

【点评】本题主要考了复数的运算以及复数的模属于基础题．

3．如图是求数列，，，，，，，前6项和的程序框图，则①处应填入的内容为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】判断框中的条件应该满足经过第一次循环得到，

经过第二次循环得到，

经过第三次循环得到，

…

故判断框中的条件应该为，故应选C．

【点评】本题考查补全程序框的条件，属于基础题．

4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持五金出关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，…，”．源于问题所蕴的数学思想，设计如图所示程序框图，运行此程序，输出的结果为等于（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】第一次执行循环，，，，继续执行循环；

第二次执行循环，，，，继续执行循环；

第三次执行循环，，，，继续执行循环；

第四次执行循环，，，，继续执行循环；

第五次执行循环，，，，结束循环，输出．

故选C．

【点评】本题考查程序框图的计算，属于基础题．

5．由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，…．若数对满足，其中，则数对排在（    ）

A．第351位 B．第353位 C．第378位 D．第380位

【答案】B

【解析】（673为质数），故或者，，

得，，

在所有数对中，两数之和不超过27的有个，

在两数之和为28的数对中，为第二个（第一个是），

故数对排在第位，故选B．

【点评】本题考查了简单的合情推理，等差数列的求和，属于中档题．

二、填空题．

6．已知（i为虚数单位），则_________．

【答案】

【解析】因为，所以，所以，

所以，故答案为．

【点评】复数的计算常见题型：

（1）复数的四则运算直接利用四则运算法则；

（2）求共轭复数是实部不变，虚部相反；

（3）复数的模的计算直接根据模的定义即可．

7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则的取值范围是_________．

【答案】（或写成）

【解析】由，；

，；

，；

，；

，退出结束，

则，故答案为．

【点评】本题考查程序框图的计算，属于基础题．

8．用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有_________项（填多少项即可）．

【答案】5

【解析】当时，原式为：，

当时，原式为，

比较后可知多了，共5项，故答案为5．

【点评】本题主要考查了数学归纳法，考生需熟悉数学归纳法的基本形式，属于基础题．

9．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的近似值．己知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__________．

【答案】

【解析】由调日法运算方法可知，

第一次用“调日法”后得是的更为精确的不足近似值，即，

第二次用“调日法”后得是更为精确的不足近似值，即，

故使用两次“调日法”后可得的近似分数为，故答案为．

【点评】本题考查了“调日法”的理论基础和操作方法，考查了计算能力，正确理解题目意思是解本题的关键，属于基础题．

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