高中数学高考 2021届高考二轮精品专题十一 不等式（理） 教师版(1)

不等式在高考当中的考查主要是作为选考内容，考查的重点为不等式的证明，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，恒成立问题，利用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明不等式，柯西不等式的应用等，有时也会作为工具应用在解题当中，总体而言难度不大．

知识点1．含绝对值不等式的解法

1．绝对值三角不等式

（1）定理1：如果是实数，则，当且仅当时，等号成立；

（2）性质：；

（3）定理2：如果是实数，则，当且仅当时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值不等式的解法

（2）和型不等式的解法

①；

②或．

（3）和型不等式的解法

解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

解法二：利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想；

解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想．

知识点2：不等式的证明方法

1．基本不等式

定理一：设则，当且仅当时，等号成立．

定理二：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立．

定理三：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立．

2．不等式的证明方法

（1）比较法

①作差比较：；

②作商比较：，．

（2）分析法：从待证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式；

（3）综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理证明，推导出所要证明的不等式成立；

（4）反证法

①作出与所证不等式相反的假设；

②从条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．

（5）放缩法：要证，可寻找合适的中间量有，从而证得．

一、选择题．

1．若，则“”是“a，b至少有一个大于2”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，假设a，b都不大于2，即，，

则，这与矛盾，

所以“”是“a，b至少有一个大于2”的充分条件；

但是，当a，b至少有一个大于2，如，，，

所以“”不是“a，b至少有一个大于2”的必要条件，故选A．

【点评】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）若是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．

2．（多选）若，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．，  D．

【答案】ABC

【解析】因为，所以，，所以，

所以，故A正确；

因为，所以，所以，故B正确；

因为，所以，，故C正确；

因为，所以，，

所以，故D错误，

故选ABC．

【点评】本题主要考了均值不等式的使用条件，属于基础题．

二、填空题．

3．若满足约束条件，则的最大值为__________．

【答案】14

【解析】由线性约束条件作出可行域如图，

由可得，作直线，沿可行域的方向平移可知过点时，

取得最大值，

由，可得，所以，所以，

故答案为．

【点评】线性规划求最值的常见类型．

（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；

（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；

（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解．

三、解答题．

4．已知函数．

（1）求的解集；

（2）若有2个不同的实数根，求实数k的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】（I），得或或，

解得或，

所以的解集是或．

（2）问题转化为与有两个交点，

由图易知：，，，即．

【点评】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1．直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍．

5．已知函数．

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）最小值为；（2）．

【解析】（1）当时，，

由解析式可知，在和上单调递减，且在处连续，

在上单调递增，

故在处取得最小值，且，所以的最小值为．

（2），，，

又，，，，

．

即在上恒成立，

令在上单调递减，，

，解得，

综上，的取值范围为．

【点评】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合(图象在上方即可)；

③讨论最值或恒成立．

6．已知函数，记最小值为k．

（1）求k的值；

（2）若a，b，c为正数，且．求证：．

【答案】（1）2；（2）证明见解析．

【解析】（1）当时，；

当时，；

当时，．

所以最小值为．

（2）由题得，

．

【点评】不等式的证明常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）反证法；（5）数学归纳法；（6）放缩法．要根据已知条件灵活选择合适的方法证明．

7．设不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）若，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由题意得，令，

由，得，即．

（2）要证，只需证，

只需，只需证，

只需证．

由，得，所以恒成立，

综上，．

【点评】本题第二问考查分析法证明不等式，关键是将不等式转化为，两边平方后，

分解因式，再利用（1）的结论证明．

8．已知函数的最小值为M．

（1）求M；

（2）若正实数，，满足，求：的最小值．

【答案】（1）；（2）3．

【解析】（1），如图所示：

，∴．

（2）由（1）知，

∴

，

∴，

∴，

∴，当且仅当，时值最小，

∴的最小值为3．

【点评】本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题．

9．已知函数．

（1）解不等式；

（2）若的最大值为，且，其中，，，求的最大值．

【答案】（1）；（2）4．

【解析】（1），，

故或或，，

故不等式的解集为．

（2）由题意知的最大值为6，故，

，

，，，，，，

，

当且仅当，即，，时等号成立，

的最大值为4．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，

属于中档题．

一、填空题．

1．已知正项等比数列（）满足，若存在两项，使得，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】∵正项等比数列{an}满足：，，

又，q0，解得，

∵存在两项am，an使得，

∴，即，，

∴，

当且仅当，即取等号，但此时，．

又，

当，即时，，

当，即时，，

则的最小值为，故答案为．

【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和，是中档题．

二、解答题．

2．已知，，恒成立．

（1）若，，求的最小值；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

取等号时，即，所以的最小值为．

（2）因为，恒成立，

所以恒成立，即，

当时，，此时无解；

当时，，解得；

当时，，解得，

综上可知：的取值范围为．

【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

一、选择题．

1．已知满足约束条件，则目标函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出所表示的可行域如下图所示：

目标函数代表的几何意义是原点到区域内的点的距离的平方，

由图可知：原点到直线的距离最短，

又原点到距离 ，，故选B．

【点评】线性规划求最值的常见类型．

（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；

（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；

（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解．

2．关于的不等式的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据对数式有意义，可得，

不等式等价于，

所以，解得，故选B．

【点评】该题考查的是有关求不等式的解集的问题，在解题的过程中，注意到是解题的关键．

二、解答题．

3．已知函数．

（1）解不等式；

（2）已知，若，求证．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）等价于，

当时，原不等式化为，即，∴；

当时，原不等式化为，即，∴；

当时，原不等式化为，即，∴，

综上可得，原不等式的解集为．

（2）证明：，

∵，∴，即，

∴，

∵，

∴，

∴，∴．

【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．

4．已知函数，．

（1）当时，解不等式；

（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，∴，

则不等式为，

当时，为恒成立，∴；

当时，为，

解得或，

∴或，

综上，不等式的解集为．

（2）不等式等价于，

即对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

∵函数在区间上单调递增，最小值为，

∴，故实数的取值范围是．

【点评】解绝对值不等式的常用方法：

（1）基本性质法：为正实数，，或；

（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于或型的不等式的求解；

（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；

（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；

（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．

5．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，且实数，满足，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）①当时，不等式即为，解得；

②当时，不等式即为，；

③当时，不等式即为，，

综上，不等式的解集为．

（2）由绝对值不等式的性质可得：，

当时，取最小值4，即，即，

，

当且仅当时等号成立．

【点评】证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法．要根据已知条件灵活选择方法证明．

6．已知函数，．

（1）解不等式：；

（2）记的最小值为，若实数满足，试证明：．

【答案】（1），（2）证明见解析．

【解析】（1），

因为，所以或或，

所以或或，

所以，所以不等式的解集为．

（2）证明：因为，

当且仅当时取等号，

所以的最小值为，所以，

所以

，

当且仅当，即，时取等号．

【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

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