高中数学高考 2021届高三大题优练5 立体几何（理） 学生版(1)

例1．如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为4，H是线段上（不含端点）的动点，．

（1）若H为EF的中点，证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：取的中点，连接，，

因为该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，

所以截面是平行四边形，则．

因为，所以，且，

所以四边形是平行四边形，所以．

因为平面，平面，所以平面．

（2）解：如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，．

设平面的法向量为，则，

令，得，

因为，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

例2．如图，四棱锥中，平面，，，，

点在线段上，且，平面．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）如图，连接交于点，连接，

∵平面，平面，平面平面，

∴，

由，知，

又，即，

在中，，

由余弦定理，得，

即，故，则，

∵平面，平面，∴，

又，∴平面，

又平面，∴平面平面．

（2）由（1）知，，，如图建立空间直角坐标系，

由题意，有，，，，，

∴，，，，

设平面的法向量为，则，即，

令，得，，则；

设平面的法向量为，则，即，

令，得，，则，

设平面和平面所成二面角的大小为，则，

∴由平面和平面所成锐二面角，故其余弦值为．

例3．如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动．

（1）当时，求点的位置；

（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）为的中点，理由见解析；（2）．

【解析】（1），，，

由余弦定理可得，

所以，，

四边形为矩形，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，

建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，

设，则，，，

，，解得，

，

当点为的中点时，．

（2）由（1）知，，，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，

易知平面的一个法向量为，，

因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

例4．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，，，点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．

【解析】（1）证明：连接，

在中，因为，，，所以．

因为点是的中点，所以．

在中，，，，

由余弦定理，有，所以，所以．

在中，，，，满足，

所以，

又，所以平面．

（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，

设，，

在中，，而，得，所以．

平面的一个法向量为，直线与平面所成角为，

因为，，

所以，所以．

因为，

所以，

得，所以或(舍)，

所以．

1．如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，．

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值．

2．点，分别是正方形的边，的中点，点在边上，且，沿图中的虚线、、将、、折起使、、三点重合，重合后的点记为点，如图．

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值．

3．如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为上的动点．

（1）探究：当为何值时，平面？

（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．

4．如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，，，．

（1）若，求二面角的正弦值；

（2）若平面平面，求的长．

5．如图所示，已知直棱柱的底面四边形是菱形，点，，，分别在棱，，，上运动，且满足：，．

（1）求证：平面；

（2）是否存在点使得二面角的正弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．

6．如图所示的五面体中，四边形是正方形，平面平面，，．

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

7．如图所示，已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直，，，，，是线段的中点．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值；

（3）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值．

1．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】证明：在菱形中，，为等边三角形．

又为的中点，，

，，

底面，平面，．

，平面，

平面．

是棱上的点，平面，

．

（2）解：底面，，

建立如图所示空间直角坐标系，设，则．

，，，，，

．

由，得．

设是平面的法向量，由，得，

令，则，，则，

又平面的法向量为，

．

由题知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．

2．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：因为四边形是正方形，

所以折起后有，．

又，所以平面，

又平面，所以．

（2）解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方形的边长，则，

所以，则有、、，

平面的一个法向量是；

设平面的法向量是，

又有，，且，

令，则，，得，

则，

由图可知该二面角为锐角，故二面角的余弦值为．

3．【答案】（1）当时，平面，理由见解析；（2）．

【解析】（1）当时，平面．理由如下：

如图，连接，与交于点，连接，

因为，所以，，

当，即时，有，

又平面，平面，

所以平面．

（2）取的中点，连接，，

因为，，，所以，

所以，所以．

因为，，

所以，，，，所以．

又，所以，所以．

因为，所以平面．

易知，，两两垂直，故可以以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，．

由（1）可知，

故，所以，

易知平面的一个法向量为．

设直线与平面所成的角为，则，

即直线与平面所成角的正弦值为．

4．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面，所以，，

又四边形为正方形，则，所以，以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系．

则，，，，

则，，

设平面的一个法向量为，则，，

所以，即，

不妨取，则，所以；

又，，，

所以，，

所以，，

又，平面，平面，

所以为平面的一个法向量，

所以，

所以二面角的正弦值为．

（2）设，则，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，则，，

所以，即，

不妨令，则，所以；

设平面的一个法向量为，

则由，，得，即，

不妨取，则，得，

因为平面平面，所以，即，得，

即．

5．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．

【解析】（1）设，则，，故，

因为底面四边形是菱形，故，

设，则为的中点，

设的中点为，连接，则，

由直棱柱可得平面，故平面，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，

故为共线向量，不共线，故，

而平面，平面，故平面．

（2）设平面的法向量为，平面的法向量为，

，，

则，取，则，故；

又，取，则，，故，

二面角的正弦值为，故二面角的余弦值的绝对值为，

故，解得或(舍)，

故存在使得二面角的正弦值为，且．

6．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：取的中点，连接．

因为，，所以是等边三角形，

所以，

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面，所以．

因为，，所以平面．

又平面，所以平面平面．

（2）取的中点，的中点，连接，．

由（1）可知，平面，易知，，，

以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．

则，，，，，．

从而，，．

因为，平面，平面，所以平面，

又因为平面，平面平面，

所以，所以．

易知，所以．

设平面的法向量为，则，即，

不妨取，则，，所以．

设直线与平面所成角为，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

7．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】（1）在平行四边形中，，，，

由余弦定理可得，，

，，，，

因为四边形为矩形，则，

，平面，

平面，所以．

（2）在中，，，，

由余弦定理可得，

，平面平面，平面平面，

平面，

平面，

平面，，则，

，，平面，

平面，，，

，

由勾股定理的逆定理知，，

设点在平面内的射影为，连接，

则为直线与平面所成角，，

由，可得，

可得，

又，，，

因此，直线与平面所成角的余弦值为．

（3）设与相交于，连接、，

因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，

且，为的中点，

且，

所以，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面，

由图可知，当点在或时，三棱锥的体积最小，

．