高中数学高考 2021届高三大题优练6 圆锥曲线之定值定点问题（文） 教师版

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练6 圆锥曲线之定值定点问题（文） 教师版，共14页。
     例1．已知椭圆，其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线（的斜率存在）交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）是定值，定值为4．【解析】（1）为正三角形，，可得，且，，∴椭圆的方程为．（2）分以下两种情况讨论：①当直线斜率不为0时，设其方程为，且，，联立，消去得，则，且，∴弦的中点的坐标为，则弦的垂直平分线为，令，得，，又，；②当直线斜率为0时，则，，则，综合①②得是定值且为4．例2．已知是椭圆的左焦点，焦距为，且过点．（1）求的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，若与交于两点，与交于两点，记的中点为的中点为，试判断直线是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）；（2）过定点，．【解析】（1）由题意可得，解得或(舍），，故椭圆的方程为．（2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴；当的斜率都存在且不为时，设，设，，联立，整理得，，，，则，所以的中点，同理由，可得的中点，则，所以直线的方程为，化简得，故直线恒过定点．综上，直线过定点． 
1．已知椭圆()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）因为的周长为，所以，即．又离心率，解得，，，∴椭圆的方程为．（2）设，，，将代入，消去并整理得，则，，，∵四边形为平行四边形，∴，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，，∴平行四边形的面积为，故平行四边形的面积为定值为．2．如图，已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，．（1）求的值；（2）设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线与直线的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）；（2）为定值5．【解析】（1）设，则，由题意得焦点为，所以，，当时，有．联立，得，，从而．将代入，得，所以，故．（2）由（1）知，，椭圆．设，代入椭圆，得．而，即，从而．同理，，从而．于是，所以，的斜率之比为定值5．3．已知椭圆（）的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，A在第一象限，且．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的任一直线与椭圆交于两点、．证明：在轴上存在点，使得为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由，得，设椭圆方程为，联立方程组，得，则，所以，所以，所以椭圆的方程为．（2）证明：当直线不与轴重合时，设，联立方程组，得．设，，，则有，．于是，若为定值，则有，得，，此时；当直线与轴重合时，，，也有，综上，存在点，满足．4．已知经过原点O的直线与离心率为的椭圆交于A，B两点，、是椭圆C的左、右焦点，且面积的最大值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图所示，设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C的切线与交于点M．记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值．【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为．【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，设，则，当时，面积取得最大值，所以，又，解得，，所以椭圆的方程是．（2）设直线与联立得，因为PM是椭圆的切线，所以，即，由，得，所以，则，设，则①，因为，所以②，将①②代入，得，因为同号，所以，因为M在直线上，所以，，，所以，，所以．5．设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得，，所以，所以椭圆C的方程为．（2）证明：设，，则，，直线，与椭圆方程联立，得，则，，，．因为点三点共线，所以，即，所以，即，整理得．①由，，代入①，整理得，所以直线l的方程为，即直线l恒过定点．6．已知椭圆，直线过椭圆的左焦点，与椭圆在第一象限交于点，三角形的面积为，、分别为椭圆的上下顶点，、是椭圆上的两个不同的动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线的斜率为，直线的斜率为，若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由．【答案】（1）；（2）直线过定点．【解析】（1）直线过左焦点，所以，，又由，可知．从而椭圆经过点．由椭圆定义知，即，故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，则的方程为，由，得，从而点坐标为；由，得，从而点坐标为，由条件知，从而直线的斜率存在，，所以直线的方程为，即，过定点，故直线过定点．7．设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线有两个交点，，若，证明：原点到直线的距离为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）∵点在圆内，∴圆内切于圆，∴，所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，从而，∴ 点的轨迹的方程为．（2）设，，若直线斜率存在，设，联立，整理得，，，①∵，∴，①化简得，即，故原点到直线的距离为；若直线斜率不存在，设，联立，解得，，代入①化简得，即原点到直线的距离为，综上所述，原点到直线的距离为定值．8．设为抛物线上两点，且线段的中点在直线上．（1）求直线的斜率；（2）设直线与抛物线交于点，记直线，的斜率分别为，，当直线经过抛物线的焦点时，求的值．【答案】（1）1；（2）4．【解析】（1）设，，因为在抛物线上，且的中点在直线上，则，，，所以直线的斜率．（2）∵直线经过抛物线的焦点，∴直线的方程为，由，消去得，由韦达定理，，∵直线与抛物线交于点，∴点的坐标为，∴，，∴．9．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，上顶点．若的面积为，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆交于，两点，若，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，定点为．【解析】（1）由题意得，得．又椭圆的离心率为，所以，即，所以，，故椭圆的方程为．（2）由题意可知，直线的斜率不存在时，不合题意，因此直线的斜率必存在，设其方程为（），与椭圆方程联立，整理得．由，设，，则，．因为，所以．又，，所以，即，整理得，所以．又，即，故，整理得，即．因此直线的方程为，由，得，故直线必过定点．