高中数学高考 2021届高三大题优练8 圆锥曲线探究性问题（理） 学生版(1)

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     例1．已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆交于，两点，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在点，满足为定值．【解析】（1）由，及，得，设椭圆方程为，联立方程组，得，则，所以，所以，所以椭圆的方程为．（2）①当直线不与轴重合时，设，联立方程组，得．设，，，则有，，于是，若为定值，则有，得，，此时；②当直线与轴重合时，，，也有，综上，存在点，满足为定值．  
1．已知椭圆，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过右焦点，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由．              2．设为坐标原点，抛物线与过点的直线相交于，两个点．（1）求证：；（2）试判断在轴上是否存在点，使得直线和直线关于轴对称．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．                 3．已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，为椭圆上不同两点，为坐标原点，（1）求椭圆的方程；（2）线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．               4．如图，抛物线的焦点为，四边形为正方形，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，交直线于点．（1）若为线段的中点，求直线的斜率；（2）若正方形的边长为，直线，，的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由．            5．在平面直角坐标系中，已知点，点B在直线上，点M满足，，点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点P在曲线C上，且横坐标为2，问：是否在曲线C上存在D，E两点，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，说明的个数；若不存在，请说明理由．      
1．【答案】（1）；（2）不存在这样的点D，理由见解析．【解析】（1）由题意可知，所以，设点，，A，B在椭圆上，．．．．．．．．．．．．．．①．．．．．．．．．．．．．．．②因为，．．．．．．．．．．．．．．③由①-②，得，即，所以，由③得，，椭圆C方程为．（2）设直线，联立，得，，，，，假设存在点D，则MD的直线方程为，，所以，，若为等边三角形，则，即，方程无实数解，不存在这样的点D．2．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．【解析】（1）由题意得，过点T的直线不与x轴平行，故设直线，设，，联立，消去得，∴，，∴，∴，∴，即．（2）假设存在这样的点，设，由（1）知，，，由和关于轴对称知，，又，解得，即存在这样的点．3．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）由，可设，，则，方程化为，又点在椭圆上，则，解得，因此椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程，消去得，化简得，，当时，取得最大值，即此时，又，，则，即，令，则，因此平面内存在两点，使得；②当直线的斜率不存在时，设，则，，即当取得最大值．此时中点的坐标为，满足方程，即．4．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）如图所示，过，分别向作垂线，垂足为，，设中点为，过向作垂线垂足为，则，又，，在中，，∴直线的斜率为．（2）正方形边长为，，抛物线方程为，，设，，，方程为，得，，由，得，，，，，，，即存在常数，使得成立．5．【答案】（1）；（2）存在，1个．【解析】（1）因为，所以，则，即M到A点的距离等于M到直线的距离，故M是以A为焦点，以直线为准线的抛物线，其方程为．（2）由已知得，设，，直线的斜率为k，则直线的斜率为，则，联立抛物线方程，消y可得，则有，，同理可得，，由，可得，整理得，即，则有（1）或（2），将后，（1）即为（2）所以分析（1）即可．令，，当或时，；当时，，故极大值为，极小值为，故只有1个零点．综上，有1个，是以P为直角顶点的等腰直角三角形．