2023年广西梧州市中考数学模拟试题及答案

注意事项：

1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.答卷前先将密封线左侧的项目填写清楚。

3.答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写，密封线内不得答题。

2023年广西梧州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）

1．（3分）（2023•梧州）的倒数是　　

A． B．6 C． D．

2．（3分）（2023•梧州）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

3．（3分）（2023•梧州）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是　　

A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体

4．（3分）（2023•梧州）下列函数中，正比例函数是　　

A． B． C． D．

5．（3分）（2023•梧州）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是　　

A． B． C． D．

6．（3分）（2023•梧州）直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是　　

A． B． C． D．

7．（3分）（2023•梧州）正九边形的一个内角的度数是　　

A． B． C． D．

8．（3分）（2023•梧州）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是　　

A．12 B．13 C．14 D．15

9．（3分）（2023•梧州）不等式组的解集在数轴上表示为　　

A． B． 

C． D．

10．（3分）（2023•梧州）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是　　

A．众数是108 B．中位数是105 C．平均数是101 D．方差是93

11．（3分）（2023•梧州）如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是　　

A． B． C． D．

12．（3分）（2023•梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

13．（3分）（2023•梧州）计算：　 　．

14．（3分）（2023•梧州）如图，已知在中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，且，则的长度是　　．

15．（3分）（2023•梧州）化简：　　．

16．（3分）（2023•梧州）如图，中，，于点，于点，与交于点，则　　度．

17．（3分）（2023•梧州）如图，已知半径为1的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是　　．

18．（3分）（2023•梧州）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是　　．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）

19．（6分）（2023•梧州）计算：．

20．（6分）（2023•梧州）先化简，再求值：，其中．

21．（6分）（2023•梧州）解方程：．

22．（8分）（2023•梧州）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点的横坐标；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点的纵坐标．

（1）用列表法或树状图法，列出点的所有可能结果；

（2）求点在双曲线上的概率．

23．（8分）（2023•梧州）如图，在中，，为上一点，，，．

（1）求的长；

（2）求的值．

24．（10分）（2023•梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元件．售价为6元件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为元件，且是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元．

（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；

（3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．

25．（10分）（2023•梧州）如图，在矩形中，，，平分，分别交，的延长线于点，；连接，过点作，分别交，于点，．

（1）求的长；

（2）求证：．

26．（12分）（2023•梧州）如图，已知的圆心为点，抛物线过点，与交于、两点，连接、，且，、两点的纵坐标分别是2、1．

（1）请直接写出点的坐标，并求、的值；

（2）直线经过点，与轴交于点．点（与点不重合）在该直线上，且，请判断点是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）如果直线与相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

2023年广西梧州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）

1．（3分）的倒数是　　

A． B．6 C． D．

【考点】倒数

【分析】根据倒数的定义，的倒数是，据此即可求解．

【解答】解：的倒数是：．

故选：．

2．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

【考点】幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；合并同类项

【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．

【解答】解：、，故此选项错误；

、，故此选项错误；

、，正确；

、，故此选项错误；

故选：．

3．（3分）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是　　

A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体

【考点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体

【分析】根据几何体的主视图和左视图都是矩形，得出几何体是柱体，再根据俯视图为圆，易判断该几何体是一个圆柱．

【解答】解：一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合这个条件的几何体只有圆柱，因此这个几何体是圆柱体．

故选：．

4．（3分）下列函数中，正比例函数是　　

A． B． C． D．

【考点】正比例函数的定义

【分析】直接利用正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义分别分析得出答案．

【解答】解：、，是正比例函数，符合题意；

、，是反比例函数，不合题意；

、，是二次函数，不合题意；

、，是一次函数，不合题意；

故选：．

5．（3分）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是　　

A． B． C． D．

【考点】钟面角

【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为即可解答．

【解答】解：钟面分成12个大格，每格的度数为，

钟表上10点整时，时针与分针所成的角是．

故选：．

6．（3分）直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是　　

A． B． C． D．

【考点】一次函数图象与几何变换

【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．

【解答】解：直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是：．

故选：．

7．（3分）正九边形的一个内角的度数是　　

A． B． C． D．

【考点】多边形内角与外角

【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．

【解答】解：该正九边形内角和，

则每个内角的度数．

故选：．

8．（3分）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是　　

A．12 B．13 C．14 D．15

【考点】线段垂直平分线的性质

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．

【解答】解：是的边的垂直平分线，

，

，，

的周长是：．

故选：．

9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为　　

A． B． 

C． D．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．

【解答】解：，

由①得：；

由②得：，

不等式组的解集为，

表示在数轴上，如图所示：

故选：．

10．（3分）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是　　

A．众数是108 B．中位数是105 C．平均数是101 D．方差是93

【考点】众数；算术平均数；中位数；方差

【分析】把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，求出众数、中位数、平均数和方差，即可得出结论．

【解答】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，

众数是108，中位数为，平均数为，

方差为；

故选：．

11．（3分）如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是　　

A． B． C． D．

【考点】垂径定理；勾股定理

【分析】过点作于点，于，连接、，由垂径定理得出，，得出，由勾股定理得出，

证出是等腰直角三角形，得出，，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．

【解答】解：过点作于点，于，连接、，如图所示：

则，，

，

在中，，

，

是等腰直角三角形，

，，

，

，

，

在中，，

；

故选：．

12．（3分）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【考点】抛物线与轴的交点；根与系数的关系；根的判别式

【分析】可以将关于的方程的解为，看作是二次函数与轴交点的横坐标，而与轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，即可以求出与，当函数值时，就是抛物线位于轴上方的部分所对应的的取值范围，再根据，做出判断．

【解答】解：关于的一元二次方程的解为，，可以看作二次函数与轴交点的横坐标，

二次函数与轴交点坐标为，，如图：

当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或；

又

，；

，

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

13．（3分）计算：　2　．

【考点】立方根

【分析】根据立方根的定义即可求解．

【解答】解：

故答案为：2．

14．（3分）如图，已知在中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，且，则的长度是　8　．

【考点】三角形中位线定理

【分析】利用三角形中位线定理求得，．

【解答】解：如图，中，、分别是、的中点，

，

，分别是，的中点，

是的中位线，

，

故答案为：8．

15．（3分）化简：　　．

【考点】分式的加减法

【分析】直接将分式的分子分解因式，进而约分得出答案．

【解答】解：原式

．

故答案为：．

16．（3分）如图，中，，于点，于点，与交于点，则　61　度．

【考点】平行四边形的性质

【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．

【解答】解：四边形是平行四边形，

，，

，，

，

则，

，

，

．

故答案为：61．

17．（3分）如图，已知半径为1的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是　　．

【考点】圆周角定理；扇形面积的计算

【分析】根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：，，

，

，

，

，

阴影部分的扇形面积，

故答案为：．

18．（3分）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是　　．

【考点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；菱形的性质

【分析】连接交于，由菱形的性质得出，，，，，由直角三角形的性质求出，，得出，由旋转的性质得：，，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果．

【解答】解：连接交于，如图所示：

四边形是菱形，

，，，，，

，

，

，

由旋转的性质得：，，

，

四边形是菱形，

，

，

，

，

，，

；

故答案为：．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）

19．（6分）计算：．

【考点】有理数的混合运算

【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式

．

20．（6分）先化简，再求值：，其中．

【考点】分式的化简求值

【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：原式

，

当时，原式．

21．（6分）解方程：．

【考点】解分式方程

【分析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．

【解答】解：方程两边同乘以得：，

则，

，

解得：，，

检验：当时，，故不是方程的根，

是分式方程的解．

22．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点的横坐标；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点的纵坐标．

（1）用列表法或树状图法，列出点的所有可能结果；

（2）求点在双曲线上的概率．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法

【分析】根据摸秋规则，可借助树状图表示所有的情况数，然后再根据坐标，找出坐标满足的点的个数，由概率公式可求．

【解答】解：（1）用树状图表示为：

点的所有可能结果；，，，，，，共六种情况．

（2）在点的六种情况中，只有，，两种在双曲线上，

；

因此，点在双曲线上的概率为．

23．（8分）如图，在中，，为上一点，，，．

（1）求的长；

（2）求的值．

【考点】解直角三角形

【分析】（1）根据，可设，得，再由勾股定理列出的方程求得，进而由勾股定理求；

（2）过点作于点，解直角三角形求得与，进而求得结果．

【解答】解：（1），可设，得，

，

，

解得，（舍去），或，

，，

，

，

；

（2）过点作于点，

，可设，则，

，

，

解得，（舍，或，

，

．

24．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元件．售价为6元件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为元件，且是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元．

（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；

（3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用

【分析】（1）根据总利润每件利润销售量，列出函数关系式，

（2）由（1）的关系式，即，结合二次函数的性质即可求的取值范围

（3）由题意可知，利润不超过即为利润率（售价进价）售价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．

【解答】解：

由题意

（1）

故与的函数关系式为：

（2）要使当天利润不低于240元，则，

解得，，

，抛物线的开口向下，

当天销售单价所在的范围为

（3）每件文具利润不超过

，得

文具的销售单价为，

由（1）得

对称轴为

在对称轴的左侧，且随着的增大而增大

当时，取得最大值，此时

即每件文具售价为9元时，最大利润为280元

25．（10分）如图，在矩形中，，，平分，分别交，的延长线于点，；连接，过点作，分别交，于点，．

（1）求的长；

（2）求证：．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质

【分析】（1）由，平分，可得，得出，可证出，则，可求出长；

（2）由，可求出，则，可得，则，根据，可得，结论得证．

【解答】（1）解：矩形中，，

，

平分，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

设，则，

解得

；

（2），，

四边形是平行四边形，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

又，

，

．

26．（12分）如图，已知的圆心为点，抛物线过点，与交于、两点，连接、，且，、两点的纵坐标分别是2、1．

（1）请直接写出点的坐标，并求、的值；

（2）直线经过点，与轴交于点．点（与点不重合）在该直线上，且，请判断点是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）如果直线与相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

【考点】二次函数综合题

【分析】（1）证明△，即可求解；

（2）点在直线上，则设的坐标为，由，即可求解；

（3）分当切点在轴下方、切点在轴上方两种情况，分别求解即可．

【解答】解：（1）过点、分别作轴的垂线交于点、，

，，

，又，

△，

，，

故点、的坐标分别为、，

将点、坐标代入抛物线并解得：

，，

故抛物线的表达式为：；

（2）将点坐标代入并解得：，则点，

点、、、的坐标分别为、、、，

则，，

点在直线上，则设的坐标为，

，则，

解得：或6（舍去，

故点，

把代入，

故点在抛物线上；

（3）①当切点在轴下方时，

设直线与相切于点，直线与轴、轴分别交于点、，连接，

，，

，，，

，即：，

解得：或（舍去，

故点，

把点、坐标代入并解得：

直线的表达式为：；

②当切点在轴上方时，

直线的表达式为：；

故满足条件的直线解析式为：或．

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日期：2023/7/11 8:41:17；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521

参考答案到此结束