2023年江苏省南京市中考数学模拟试题及答案
展开注意事项:
1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟。
2.答卷前先将密封线左侧的项目填写清楚。
3.答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写,密封线内不得答题。
2023年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.(2分)(2023•南京)2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元.用科学记数法表示13000是
A. B. C. D.
2.(2分)(2023•南京)计算的结果是
A. B. C. D.
3.(2分)(2023•南京)面积为4的正方形的边长是
A.4的平方根 B.4的算术平方根
C.4开平方的结果 D.4的立方根
4.(2分)(2023•南京)实数、、满足且,它们在数轴上的对应点的位置可以是
A. B.
C. D.
5.(2分)(2023•南京)下列整数中,与最接近的是
A.4 B.5 C.6 D.7
6.(2分)(2023•南京)如图,△是由经过平移得到的,△还可以看作是经过怎样的图形变化得到?下列结论:①1次旋转;②1次旋转和1次轴对称;③2次旋转;④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是
A.①④ B.②③ C.②④ D.③④
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分。不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
7.(2分)(2023•南京)的相反数是 ,的倒数是 .
8.(2分)(2023•南京)计算的结果是 .
9.(2分)(2023•南京)分解因式的结果是 .
10.(2分)(2023•南京)已知是关于的方程的一个根,则 .
11.(2分)(2023•南京)结合图,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式: ,.
12.(2分)(2023•南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有 .
13.(2分)(2023•南京)为了了解某区初中学生的视力情况,随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据,得到下表:
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
102
98
80
93
127
根据抽样调查结果,估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 .
14.(2分)(2023•南京)如图,、是的切线,、为切点,点、在上.若,则 .
15.(2分)(2023•南京)如图,在中,的垂直平分线交于点,平分.若,,则的长 .
16.(2分)(2023•南京)在中,,,,则的长的取值范围是 .
三、解答题(本大题共11小题,共88分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)(2023•南京)化简:
18.(7分)(2023•南京)解方程:.
19.(7分)(2023•南京)如图,是的边的中点,,,与相交于点.求证:.
20.(8分)(2023•南京)如图是某市连续5天的天气情况.
(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大;
(2)根据如图提供的信息,请再写出两个不同类型的结论.
21.(8分)(2023•南京)某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动,要求每位学生选择两天参加活动.
(1)甲同学随机选择两天,其中有一天是星期二的概率是多少?
(2)乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期二的概率是 .
22.(7分)(2023•南京)如图,的弦、的延长线相交于点,且.求证:.
23.(8分)(2023•南京)已知一次函数为常数,和.
(1)当时,若,求的取值范围.
(2)当时,.结合图象,直接写出的取值范围.
24.(8分)(2023•南京)如图,山顶有一塔,塔高.计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道.从与点相距的处测得、的仰角分别为、,从与点相距的处测得的仰角为.求隧道的长度.
(参考数据:,.
25.(8分)(2023•南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长,宽,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
26.(9分)(2023•南京)如图①,在中,,,.求作菱形,使点在边上,点、在边上,点在边上.
小明的作法
1.如图②,在边上取一点,过点作交于点.
2.以点为圆心,长为半径画弧,交于点.
3.在上截取,连接,则四边形为所求作的菱形.
(1)证明小明所作的四边形是菱形.
(2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化请你继续探索,直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围.
27.(11分)(2023•南京)【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系,对两点,和,,用以下方式定义两点间距离:.
【数学理解】
(1)①已知点,则 .
②函数的图象如图①所示,是图象上一点,,则点的坐标是 .
(2)函数的图象如图②所示.求证:该函数的图象上不存在点,使.
(3)函数的图象如图③所示,是图象上一点,求的最小值及对应的点的坐标.
【问题解决】
(4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图④,道路以为起点,先沿方向到某处,再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出示意图并简要说明理由)
2023年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.(2分)2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元.用科学记数法表示13000是
A. B. C. D.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,是正数;当原数的绝对值时,是负数.
【解答】解:
故选:.
2.(2分)计算的结果是
A. B. C. D.
【分析】根据积的乘方法则解答即可.
【解答】解:.
故选:.
3.(2分)面积为4的正方形的边长是
A.4的平方根 B.4的算术平方根
C.4开平方的结果 D.4的立方根
【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根;
【解答】解:面积为4的正方形的边长是,即为4的算术平方根;
故选:.
4.(2分)实数、、满足且,它们在数轴上的对应点的位置可以是
A. B.
C. D.
【分析】根据不等式的性质,先判断的正负.再确定符合条件的对应点的大致位置.
【解答】解:因为且,
所以.
选项符合,条件,故满足条件的对应点位置可以是.
选项不满足,选项、不满足,故满足条件的对应点位置不可以是、、.
故选:.
5.(2分)下列整数中,与最接近的是
A.4 B.5 C.6 D.7
【分析】由于,可判断与4最接近,从而可判断与最接近的整数为6.
【解答】解:,
,
与最接近的是4,
与最接近的是6.
故选:.
6.(2分)如图,△是由经过平移得到的,△还可以看作是经过怎样的图形变化得到?下列结论:①1次旋转;②1次旋转和1次轴对称;③2次旋转;④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是
A.①④ B.②③ C.②④ D.③④
【分析】依据旋转变换以及轴对称变换,即可使与△重合.
【解答】解:先将绕着的中点旋转,再将所得的三角形绕着的中点旋转,即可得到△;
先将沿着的垂直平分线翻折,再将所得的三角形沿着的垂直平分线翻折,即可得到△;
故选:.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分。不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
7.(2分)的相反数是 2 ,的倒数是 .
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,乘积为的两个数互为倒数,可得答案.
【解答】解:的相反数是 2,的倒数是 2,
故答案为:2,2.
8.(2分)计算的结果是 0 .
【分析】先分母有理化,然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可.
【解答】解:原式.
故答案为0.
9.(2分)分解因式的结果是 .
【分析】直接利用多项式乘法去括号,进而合并同类项,再利用公式法分解因式得出答案.
【解答】解:
.
故答案为:.
10.(2分)已知是关于的方程的一个根,则 1 .
【分析】把代入方程得到关于的方程,然后解关于的方程即可.
【解答】解:把代入方程得,
解得.
故答案为1.
11.(2分)结合图,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式: ,.
【分析】两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
【解答】解:,
(同旁内角互补,两直线平).
故答案为:.
12.(2分)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有 5 .
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度,进而得出答案.
【解答】解:由题意可得:
杯子内的筷子长度为:,
则筷子露在杯子外面的筷子长度为:.
故答案为:5.
13.(2分)为了了解某区初中学生的视力情况,随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据,得到下表:
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
102
98
80
93
127
根据抽样调查结果,估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 7200 .
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得.
【解答】解:估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是(人,
故答案为:7200.
14.(2分)如图,、是的切线,、为切点,点、在上.若,则 .
【分析】连接,根据切线的性质得到,根据等腰三角形的性质得到,由圆内接四边形的性质得到,于是得到结论.
【解答】解:连接,
、是的切线,
,
,
,
,
,
故答案为:.
15.(2分)如图,在中,的垂直平分线交于点,平分.若,,则的长 .
【分析】作于,由角平分线的性质得出,设,则,由线段垂直平分线得出,,得出,得出,,,,再由勾股定理得出方程,解方程即可得出结果.
【解答】解:作于,如图所示:
平分,
,
设,则,
是的垂直平分线,
,,
,
,
,
,,
由勾股定理得:,
即,
解得:,
;
故答案为:.
16.(2分)在中,,,,则的长的取值范围是 .
【分析】作的外接圆,求出当时,是直径最长;当时,是等边三角形,,而,即可得出答案.
【解答】解:作的外接圆,如图所示:
,,
当时,是直径最长,
,
,
,,
,
;
当时,是等边三角形,,
,
长的取值范围是;
故答案为:.
三、解答题(本大题共11小题,共88分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)化简:
【分析】根据多项式乘以多项式的法则,可表示为,计算即可.
【解答】解:,
,
.
故答案为:.
18.(7分)解方程:.
【分析】方程两边都乘以最简公分母化为整式方程,然后解方程即可,最后进行检验.
【解答】解:方程两边都乘以去分母得,
,
即,
解得
检验:当时,,
是原方程的解,
故原分式方程的解是.
19.(7分)如图,是的边的中点,,,与相交于点.求证:.
【分析】依据四边形是平行四边形,即可得出,依据,即可得出,,即可判定.
【解答】证明:,,
四边形是平行四边形,
,
是的中点,
,
,
,
,,
.
20.(8分)如图是某市连续5天的天气情况.
(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大;
(2)根据如图提供的信息,请再写出两个不同类型的结论.
【分析】(1)方差:一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差;
(2)用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况,这个结果叫方差,通常用来表示,计算公式是:
(可简单记忆为“方差等于差方的平均数” .
【解答】解:(1)这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是
,,
方差分别是
,
,
,
该市这5天的日最低气温波动大;
(2)25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴,空气质量依次良、优、优,说明下雨后空气质量改善了.
21.(8分)某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动,要求每位学生选择两天参加活动.
(1)甲同学随机选择两天,其中有一天是星期二的概率是多少?
(2)乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期二的概率是 .
【分析】(1)由树状图得出共有12个等可能的结果,其中有一天是星期二的结果有6个,由概率公式即可得出结果;
(2)乙同学随机选择连续的两天,共有3个等可能的结果,即(星期一,星期二),(星期二,星期三),(星期三,星期四);其中有一天是星期二的结果有2个,由概率公式即可得出结果.
【解答】解:(1)画树状图如图所示:共有12个等可能的结果,其中有一天是星期二的结果有6个,
甲同学随机选择两天,其中有一天是星期二的概率为;
(2)乙同学随机选择连续的两天,共有3个等可能的结果,即(星期一,星期二),(星期二,星期三),(星期三,星期四);
其中有一天是星期二的结果有2个,即(星期一,星期二),(星期二,星期三),
乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期二的概率是;
故答案为:.
22.(7分)如图,的弦、的延长线相交于点,且.求证:.
【分析】连接,由圆心角、弧、弦的关系得出,进而得出,根据等弧所对的圆周角相等得出,根据等角对等边证得结论.
【解答】证明:连接,
,
,
,即,
,
.
23.(8分)已知一次函数为常数,和.
(1)当时,若,求的取值范围.
(2)当时,.结合图象,直接写出的取值范围.
【分析】(1)解不等式即可;
(2)先计算出对应的的函数值,然后根据时,一次函数为常数,的图象在直线的上方确定的范围.
【解答】解:(1)时,,
根据题意得,
解得;
(2)当时,,把代入得,解得,
当时,;
当时,.
24.(8分)如图,山顶有一塔,塔高.计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道.从与点相距的处测得、的仰角分别为、,从与点相距的处测得的仰角为.求隧道的长度.
(参考数据:,.
【分析】延长交于,利用正切的定义用表示出、,根据题意列式求出,计算即可.
【解答】解:延长交于,
则,
在中,,
,
在中,,
,
在中,,
,
由题意得,,
解得,,
,,
,
,
,
,
答:隧道的长度为.
25.(8分)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长,宽,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
【分析】设扩充后广场的长为,宽为,根据矩形的面积公式和总价单价数量列出方程并解答.
【解答】解:设扩充后广场的长为,宽为,
依题意得:
解得,(舍去).
所以,,
答:扩充后广场的长为,宽为.
26.(9分)如图①,在中,,,.求作菱形,使点在边上,点、在边上,点在边上.
小明的作法
1.如图②,在边上取一点,过点作交于点.
2.以点为圆心,长为半径画弧,交于点.
3.在上截取,连接,则四边形为所求作的菱形.
(1)证明小明所作的四边形是菱形.
(2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化请你继续探索,直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围.
【分析】(1)根据邻边相等的四边形是菱形证明即可.
(2)求出几种特殊位置的的值判断即可.
【解答】(1)证明:,,
,
,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形.
(2)如图1中,当四边形是正方形时,设正方形的边长为.
在中,,,,
,
则,,
,
,
,
,
观察图象可知:时,菱形的个数为0.
如图2中,当四边形是菱形时,设菱形的边长为.
,
,
,
解得,
,
如图3中,当四边形是菱形时,设菱形的边长为.
,
,
,
,
,
,
观察图象可知:当或时,菱形的个数为0,当或时,菱形的个数为1,当时,菱形的个数为2.
27.(11分)【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系,对两点,和,,用以下方式定义两点间距离:.
【数学理解】
(1)①已知点,则 3 .
②函数的图象如图①所示,是图象上一点,,则点的坐标是 .
(2)函数的图象如图②所示.求证:该函数的图象上不存在点,使.
(3)函数的图象如图③所示,是图象上一点,求的最小值及对应的点的坐标.
【问题解决】
(4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图④,道路以为起点,先沿方向到某处,再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出示意图并简要说明理由)
【分析】(1)①根据定义可求出;②由两点间距离:及点是函数的图象上的一点,可得出方程组,解方程组即可求出点的坐标;
(2)由条件知,根据题意得,整理得,由△可证得该函数的图象上不存在点,使.
(3)根据条件可得,去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值;
(4)以为原点,所在的直线为轴建立平面直角坐标系,将函数的图象沿轴正方向平移,直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止,设交点为,过点作,垂足为,修建方案是:先沿方向修建到处,再沿方向修建到处,可由,,证明结论即可.
【解答】解:(1)①由题意得:;
②设,由定义两点间的距离可得:,
,
,
,
解得:,
,
故答案为:3,;
(2)假设函数的图象上存在点使,
根据题意,得,
,
,,
,
,
,
△,
方程没有实数根,
该函数的图象上不存在点,使.
(3)设,
根据题意得,,
,
又,
,,
当时,有最小值3,此时点的坐标是.
(4)如图,以为原点,所在的直线为轴建立平面直角坐标系,将函数的图象沿轴正方向平移,直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止,
设交点为,过点作,垂足为,修建方案是:先沿方向修建到处,再沿方向修建到处.
理由:设过点的直线与轴相交于点.在景观湖边界所在曲线上任取一点,过点作直线,与轴相交于点.
,
,,
同理,
,
,,,
上述方案修建的道路最短.
参考答案到此结束
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