9.1 向量概念（四大题型）-高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版必修第二册）

9.1 向量概念
【题型归纳目录】
题型一：向量的基本概念
题型二：向量的表示方法
题型三：利用向量相等或共线进行证明
题型四：向量知识在实际问题中的简单应用
【知识点梳理】
知识点一：向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
知识点二：向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
知识点三：向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．
知识点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
知识点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【典型例题】
题型一：向量的基本概念
例1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（    ）
A．质量 B．功 C．温度 D．力
【答案】D
【解析】质量、功、温度只有大小没有方向不是向量，故ABC错误，
力既有大小又有方向，是向量，故D正确，
故选：D．
例2．（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（    ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【答案】A
【解析】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
故选：A
例3．（2022·全国·高一课时练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(    )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【解析】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；
速度、位移既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
变式1．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确;
若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确;
向量不能比较大小,C不正确;
若，则,D,不正确.
故选:B.
变式2．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的有（    ）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．有向线段就是向量，向量就是有向线段
C．两向量的大小与其方向有关
D．向量的模可以比较大小
【答案】AD
【解析】向量的长度与向量的长度都等于线段AB的长度，故A选项正确；有向线段是向量的几何表示，两个并不相同，故B选项错误；向量不能比较大小，故C选项错误；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D选项正确.
故选：AD
【方法技巧与总结】
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
题型二：向量的表示方法
例4．（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出.
【解析】如图，根据方位角及长度来确定.

例5．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模.

【解析】因为是单位向量，所以图中小正方形的边长为；
所以，
由勾股定理可知，，.
例6．（2022·全国·高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，

（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
【解析】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；
（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；
（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.
变式3．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【解析】由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.

【方法技巧与总结】
作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
题型三：利用向量相等或共线进行证明
例7．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.

(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
【答案】(1)，，；
(2)证明见解析.
【分析】
根据条件，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量；
根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论.
（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以与向量共线的向量为：，，.
（2）证明：在平行四边形中，，.
因为，分别是，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
故.
例8．（2022·全国·高一课前预习）如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则

(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
【解析】(1)在平行四边形中，为对角线的交点，所以，且，所以与的模相等的向量有，，三个向量．
(2)与的模相等且方向相反的向量为，.
(3)与共线的向量有，，.
例9．（2022·全国·高一课时练习）已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：．
【解析】证明：如图，连接AC，

因为，分别是，的中点，所以为的中位线，
所以，且，
同理，因为，分别是，的中点，所以，且，
所以，且，
因为向量与方向相同，所以.
变式4．（2022·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．

【解析】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．
所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
所以四边形ABCD是平行四边形．
即证.
【方法技巧与总结】
相等向量与共线向量的探求方法
（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
题型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例10．（2022·全国·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，

为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
例11．（2022·全国·高一课时练习）一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去.
（1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？
（2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作.
【解析】

    

    

    

记出发点A.
（1）当时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，最少操作8次可使赛车的位移为0，赛车所行路程是8m.
（2）当时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，最少操作3次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为3m；
当时，如图③，赛车行进路程构成一个正方形，最少操作4次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为4m；
当时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，最少操作6次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为6m.
例12．（2022·全国·高一课时练习）一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：

（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
【解析】（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即.
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为.
由于，故方向约为北偏东53°.

【方法技巧与总结】
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·山西吕梁·高一阶段练习）下列说法中错误的是（    ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量的长度为1 D．相等向量一定是共线向量
【答案】B
【解析】对A：零向量的方向是任意的，故与任一向量都是平行的，故A正确；
对B：方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；
对C：单位向量的长度为1，故C正确；
对D：相等向量方向相同，故一定是共线向量，故D正确；
故选：B.
2．（2022·湖南·长沙县实验中学高一期末）如图，四边形中，，则相等的向量是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【解析】因为在四边形中，，则四边形为平行四边形，
故，，，，
故选：D.
3．（2022·全国·高一期末）如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】与方向不同，与均不相等；
与方向相同，长度相等，.
故选：D.
4．（2022·全国·高一专题练习）下列说法中正确的是（    ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量都是相等向量
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
【答案】C
【解析】零向量的模为0，故A不正确；
单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；
向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；
不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．
故选：C
5．（2022·河南·襄城高中高一阶段练习）下列说法错误的是（    ）
A．若，，则 B．单位向量都相等
C．零向量的方向是任意的 D．任一向量都与它自身是平行向量
【答案】B
【解析】利用相等向量的概念可知，若，，则，故A正确；
单位向量的模长相等，方向不一定相同，故B错误；
由零向量及平行向量的概念可知，零向量的方向是任意的，任一向量都与它自身是平行向量，故CD正确．
故选：B.
6．（2022·广东·西关外国语学校高一期中）下列命题中，正确的是（    ）
A．两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同
B．若，则
C．四边形中，一定有
D．若，，则
【答案】D
【解析】对于A，两个向量相等，则它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故A错误；
对于B，时，与不一定相等，故B错误；
对于C，四边形中，不一定有，当四边形为平行四边形时，故C错误；
对于D，当，时，，故D正确．
故选：D ．
7．（2022·北京市第五中学高一期中）下列结论中正确的是（    ）
①若且，则；
②若，则且；
③若与方向相同且，则；
④若，则与方向相反且.
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【解析】①若且，则或，则①错；
②若，则且，正确；
③若与方向相同且，则，正确；
④若，则与方向不定，且与大小也不定，则④错．
故选：B
8．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（    ）

A．＝ B． C．＞ D．＜
【答案】B
【解析】与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故，
又向量不是实数，是不能比较大小的.
故选：B.
二、多选题
9．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（    ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．零向量的长度为0 D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】ACD
【解析】零向量与任一向量平行，零向量的方向不确定，但模确定为0，故A与C都是正确的；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；对于D，因为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D正确．
故选：ACD．
10．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）下列关于向量的描述中，不正确的有（    ）
A．有向线段就是向量
B．若向量与向量共线，则四点共线
C．零向量没有方向
D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A，有向线段是固定的，向量是可以平行移动的，二者不是相等关系，A错误；
对于B，若和是平行四边形的一组对边，此时向量与向量共线，但四点不共线，B错误；
对于C，零向量方向任意，C错误；
对于D，若，则大小相等，方向相同，D正确.
故选：ABC.
11．（2022·山东菏泽·高一期中）设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．与共线
【答案】AD
【解析】因点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则O是AC中点，即有，A正确；
平行四边形对角线长不一定相等，则与不一定相等，B不正确；
点A，O，B不共线，C不正确；
平行四边形ABCD中，，即有与共线，D正确.
故选：AD
12．（2022·重庆巴蜀中学高一阶段练习）下列说法错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．对任意非零向量，是和它共线的一个单位向量 D．零向量没有方向
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，满足，而与不一定共线，所以A错误，
对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以向量不能比较大小，所以B错误，
对于C，因为是非零向量，所以是和它共线的一个单位向量，所以C正确，
对于D，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，它的方向是任意的，所以D错误，
故选：ABD
三、填空题
13．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF中，点O是对角线AD､BE､CF的交点，在以A､B､C､D､E､F､O为端点的向量中与向量相等的向量的个数是___________.

【答案】3
【解析】由题图知：与向量相等的向量有，
∴共有3个.
故答案为：3
14．（2022·全国·高一专题练习）如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________.

【答案】5
【解析】由图知：与向量的模相等的向量有，
∴共有5个.
故答案为：5.
15．（2022·全国·高一课时练习）下列命题中，正确的是________．（填序号）
①若，则；    ②若，则；
③若，则；    ④若，则．
【答案】③
【解析】选项①，要保证，则，且方向相同，故①错误；
选项②，向量有大小和方向两个要素，不可比较大小，故②错误；
选项③，若，且大小相等，方向相同，故，故③正确；
选项④，若，则，故④错误
故答案为：③
16．（2022·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:

①都是单位向量;
②∥∥
③与相等的向量有3个;
④与共线的向量有3个;
⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.
其中正确的是____.(填序号)
【答案】①②④⑤
【解析】①由两菱形的边长都为1，故①正确;②正确;③与相等的向量是，故③错误;④与共线的向量是，故④正确;⑤正确.
故答案为：①②④⑤
四、解答题
17．（2022·全国·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．

（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
18．（2022·全国·高一课时练习）在如图的方格纸（每个小方格边长为）上，已知向量．

（1）试以为起点画一个向量，使；
（2）画一个以为起点的向量，使，并说出的终点的轨迹．
【解析】（1）根据相等向量的定义，所作向量应与平行，且长度相等，如图．


（2）由平面几何知识可作满足条件的向量．
所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图．
19．（2022·全国·高一课时练习）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与、、相等的向量．

【解析】由图

可得；；.
20．（2022·全国·高一课时练习）在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，判别下列命题是否正确.
（1）；
（2）和是平行向量；
（3）.
【解析】

（1）不正确.和的模不相等，为此它们必不是相等向量；
（2）正确.由平面几何知识可知，所以和为平行向量；
（3）不正确.向量是无法比较大小的，只有向量的模可以比较大小.
21．（2022·全国·高一课时练习）如图，，，，是上的八个等分点，则在以，，，以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量里，模等于圆半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？

【解析】由图可知，模等于圆半径的向量为，，，，共16个；
图中两个正方形的每条边对应了2个模等于圆半径倍的向量，共16个.
22．（2022·全国·高一课时练习）是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，在如图所示的向量中：

（1）分别找出与，相等的向量；
（2）找出与共线的向量；
（3）找出与模相等的向量；
（4）向量与是否相等？
【解析】因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，
所以，；
（1）由题中图形可得：，；
（2）由图形可得，与共线的向量有：，，；
（3）与模相等的向量有：，，，，，，；
（4）向量与不相等，因为它们的方向不相同．