10.2 二倍角的三角函数（七大题型）-高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版必修第二册）

10.2 二倍角的三角函数
【题型归纳目录】
题型一：二倍角公式的简单应用
题型二：给角求值
题型三：给值求值
题型四：利用倍角公式化简及证明
题型五：辅助角公式的应用
题型六：三角函数的实际应用
题型七：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
【知识点梳理】
知识点一：二倍角公式的逆用及变形
1、公式的逆用
；．
．
．
2、公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
知识点二：升（降）幂缩（扩）角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
知识点诠释：
利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．
知识点三：辅助角公式
1、形如的三角函数式的变形：

令，，则

（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）
2、辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．

【典型例题】
题型一：二倍角公式的简单应用
【方法技巧与总结】
应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
例1．（2023·河南·安阳37中高一期末）已知，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
例2．（2023·河北保定·高一阶段练习）若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，因此，
故选：A
例3．（2023·全国·高一课时练习）若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
分子分母同时除以，得．
故选：D.
变式1．（2023·浙江·高一期中）若，则=（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
.
故选：D.
题型二：给角求值
【方法技巧与总结】
对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
例4．（2023·全国·高三专题练习）化简：（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
故选：A
例5．（2023·全国·高三专题练习）计算：（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
，所以原式
故选：C
例6．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考期末）（1）已知，且，求；
（2）化简：.
【解析】（1），,
又 ， ,
，,
  
;
（2）
.
变式2．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得
.
故选：A.
变式3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A：
，故A正确；
对于B：




，故B错误；
对于C：，
所以，
所以，故C正确；
对于D：






，故D错误；
故选：AC
变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：

，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：ACD
题型三：给值求值
【方法技巧与总结】
(1)条件求值问题常有两种解题途径
①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；
②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)一个重要结论：.
例7．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）若，则________.
【答案】
【解析】
故答案为：.
例8．（2023浙江杭州·高三期末）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故选：A．
例9．（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，
，
，
，
，
故选：B.
变式5．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
故选：D
变式6．（2023广西贵港·高一统考期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，所以，，
所以．
故选：C．
变式7．（2023·全国·模拟预测）已知，且，则（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由，得
，
则，
即，得，
则，
得或，
又，所以，
故.
故选：B
题型四：利用倍角公式化简及证明
【方法技巧与总结】
三角函数式化简、证明的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．
(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分．
(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．
(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．
(5)利用“1”的恒等变形，如，等．
例10．（2023·高一课时练习）计算三角比时，我们常会用到对称思想来解答．
例如：求证：
证明：设
，∴，
而
∴
根据上述证法，计算下面两式的值：
(1)；
(2)．
【解析】（1）设，
，
所以，
而
，
；
（2）设；．
∴
    


∴．
例11．证明：．
【解析】．
例12．证明：．
【解析】因为，
又，
所以.
变式8．证明：．
【解析】证明如下：

题型五：辅助角公式的应用
【方法技巧与总结】
辅助角公式的应用策略
（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
（2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性．
例13．（2023·上海·位育中学高一期中）若函数的图像关于直线对称，则___________.
【答案】
【解析】因为函数的图像关于直线对称，
所以函数在时取得最值，
所以，结合辅助角公式得：，即，
整理得：，解得.
故答案为：
例14．（2023·全国·高一课时练习）当函数取得最大值时，____________．
【答案】
【解析】，且，
∴，
∴当，即时，函数取最大值2．
故答案为：
例15．（2023·全国·高一专题练习）要使有意义，则实数m的取值范围为____________．
【答案】
【解析】因，因此，解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：
变式9．（2023·辽宁实验中学高一期中）函数的最大值为______．
【答案】2
【解析】，其中，，.
∵，，
∴，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∵
∴当时，取得最大值．
故答案为：
变式10．（2023·上海市杨浦高级中学高一期中）若函数取最小值时，则___________.
【答案】
【解析】，其中
时取最小值，，


故答案为：.
题型六：三角函数的实际应用
【方法技巧与总结】
三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．
例16．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角为锐角，假设墙的可利用长度（单位：米）足够长．

(1)在中，若边上的高等于，求；
(2)当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．
【解析】（1）过点作交于．

设米，，则米，米．
在中，．
故．
（2）设，则米，米，

因为，所以，
所以，当时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为平方米．
例17．（2023·安徽安庆·高一期末）如图，在扇形OAB中，，半径.在上取一点M，连接，过M点分别向半径OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.

（1）设，将四边形MEOF的面积S表示成的函数，并写出的取值范围；
（2）求四边形MEOF的面积S的最大值.
【解析】（1），

，
由题意要得到四边形MEOF，则.
（2）由（1）知：，因为，所以，
所以当，即时，四边形MEOF的面积S的最大值为.
例18．（2023·山西晋中·高一期末）如图，已知面积为的扇形，半径为，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．

(1)求扇形圆心角的大小；
(2)点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由．
【解析】(1)设，根据扇形的面积公式可得，得.
(2)连接，设，则，，

在中，，则，
于是矩形的面积

，
由于，则，
当，即当时，矩形的面积最大，最大为，此时点是弧的中点．
因此，当点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大为.
变式11．（2023·上海·高一课时练习）已知矩形内接于半径为1的圆．
（1）求矩形面积的最大值；
（2）当矩形的面积最大时，矩形的周长也最大吗？说明理由．
【解析】（1）如图所示，
设，
在中，，
，，
矩形的面积是
，
当时，矩形的面积取得最大值．
（2）矩形的周长是
，
当时，矩形的周长取得最大值；
综上，时，矩形面积与周长同时取得最大值，
即当矩形的面积最大时，矩形的周长也最大

题型七：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
【方法技巧与总结】
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：（1）运用和、差、倍角公式化简；（2）统一化成的形式；（3）利用辅助角公式化为的形式，研究其性质．
例19．（2023·广东·饶平县第二中学高一开学考试）已知函数，.
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)求在区间上的最大值和最小值.
【解析】（1）             
所以的最小正周期
（2）由，，得，．
故函数的单调递增区间为，．
（3）当时，
∴
∴
故在区间上的最大值为，最小值为.
例20．（2023·天津·高一期末）已知函数
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求在区间上的最值；
(3)若，求的值．
【解析】（1）因为
．
所以的最小正周期，
∵，
∴，
所以的单调递减区间为；
（2）由（1）知的单调递减区间为，
∵，
∴在上单调递增，在上单调递减，
又，
故；
另∵，
∴，
∵在单调递增，在上单调递减，
∴当时，，
∴当时，；
（3）∵，
∴，
由，得，
∴，
∴，

．
例21．（2023·天津南开·高一期末）已知函数
(1)求的最小正周期和对称中心;
(2)求的单调递减区间；
(3)当时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值
【解析】（1），
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
（2）解不等式，
解得.
因此，函数的单调递减区间为；
（3）当时，，
当时，
即当时，
函数取得最大值，最大值为．
变式12．（2023·浙江·高一期中）已知函数
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)当时，，求.
【解析】（1）因为
，
所以的最小正周期为，
由，
得；
所以单调递增区间为.
（2）因为，
所以，即，
又，则，
又，则，
那么，
从而
.
变式13．（2023山西太原·高三太原市实验中学校考期末）已知函数，
(1)求函数的最小正周期；
(2)求在上的最大值和最小值.
【解析】（1）


∴的最小正周期为.
（2）∵，∴，
∴当，即时，；
当，即时，.
综上，当时，取得最小值为0；当时，取得最大值为.
变式14．（2023山东临沂·高一校考期末）已知最小正周期为.
(1)求的值及的增区间；
(2)若在上有2个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）

由，得.
所以，
令，解得.
所以的增区间为
（2）由题意知直线与的图像有两个公共点；
设，
则直线与的图像有两个公共点.
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，
根据三角函数图像性质可知时在上有2个零点；
所以实数的取值范围是.
【同步练习】
一、单选题
1．（2023·广西桂林·统考模拟预测）若，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴，，
∴．
故选：C．
2．（2023浙江杭州·高二期末）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为．
故选：B
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知为角终边上一点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知为角终边上一点，则，
故，
故，
故选：A
4．（2023河南安阳·高一统考期末）若，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，
又，所以，
所以，
故．
故选：D
5．（2023重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
.
故选：A.
6．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，得，
所以，所以，
又，
故选：A.
7．（2023湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴
故选：A.
8．（2023山东济南·高一济南市历城第二中学校考期末）已知的三个内角分别为、、，若满足，，那么（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以在中，角为锐角，
由可得：，则，
所以，
则，
故选：.
二、多选题
9．（2023广东湛江·高一统考期末）下列各式中，值为的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确．
故选：AD
10．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ）．
A．函数的最小正周期为
B．为函数图像的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．函数在上有3个零点
【答案】BC
【解析】由题意得：





，
所以，。
∴的最小正周期，故A错误；
，故B正确；
∵，∴，
∴函数在上单调递减，故C正确；
令，
即，
因为，所以
令，则，所以选项D的问题转化为
与的交点个数问题，
如图所示：

观察可知，有2个零点，故D错误．
故选：BC．
11．（2023广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）下列各式中，值为1的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A选项，，故正确；
对于B选项，，故正确；
对于C选项，，故错误；
对于D选项，，故错误.
故选：AB
12．（2023陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考期末）计算下列各式的值，其结果为1的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，
，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，
，C正确；
对于D，
，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知，，则的值为______.
【答案】
【解析】解析：由，，得，
又，解得，，则.
故答案为：.
14．（2023·高三课时练习）已知，且，则______.
【答案】
【解析】由
因为，所以，
因此，
所以.
故答案为：.
15．（2023江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）设，若，，则的值为_____．
【答案】
【解析】因为，则，又，
所以.
故答案为：.
16．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知，则___________.
【答案】
【解析】令，则，
所以，
因为，
所以，整理得，
则，解得或（舍去），
所以，即.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023湖南娄底·高一校考期末）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）由题意得，
，
得，则．
（2）



．
18．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期及对称轴方程；
(2)时，的最大值为，最小值为，求，的值.
【解析】（1）






∴，则的最小正周期为，
∵的对称轴为直线，，
∴由，，解得，，
∴的对称轴方程为，.
（2），
∵，∴，∴，
∴，
当时，的最大值为，最小值为，
∴由，解得，
当时，的最大值为，最小值为，
∴由，解得，
综上所述，，或，.
19．（2023湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度．
(1)求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)已知关于的方程在内有两个不同的解，．
①求实数的取值范围；
②请用的式子表示．
【解析】（1）将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，故，
从而函数图象的对称轴方程为．
（2）①（其中，
依题意，在区间内有两个不同的解，，当且仅当，
故的取值范围是．
②因为，是方程在区间内的两个不同的解，
所以，．
当时，，即；
当时，，即；
所以．
20．（2023重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）已知函数.
(1)将函数化为的形式，其中，，，并求的值域；
(2)若，，求的值.
【解析】（1）
，
∵，∴；
（2）由，可知，
∵，∴，∴，
∴.
21．（2023春·湖南株洲·高一校考开学考试）已知函数.
(1)化简函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域；
(3)设，求的值.
【解析】（1）.
（2）当时，，则，
所以函数在区间上的值域为.
（3）因为，所以，
，，所以，
则.
22．（2023河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）如图，要在一块半径为1m，圆心为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M、N在OB上，设∠BOP=θ．平行四边形MNPQ的面积为S．

（1）求S关于θ的函数关系式；
（2）求S的最大值及相应θ的值．
【解析】（1）分别过P、Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则QEDP为矩形，
由扇形半径为1cm，PD＝sinθ，OD＝cosθ，在Rt△OEQ中MN＝OD﹣OE＝
＝
（2），
，即
当时，