第十四讲 三角形-备战中考数学第一轮专题复习真题分点透练（全国通用）

第十四讲  三角形

命题点1 三角形及边角关系

1．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（　　）

A．﹣5 B．4 C．7 D．8

3．（2022•德阳）八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（　　）

A．1km B．2km C．3km D．8km

4．（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 　　．

5．（2021•大庆）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 　    　．

命题点2  三角形的内角和及内外角关系

6．（2022•东营）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为 　  　．

7．（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 　   　度．

8．（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

9．（2021•河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（　　）

A．90° B．80° C．60° D．40°

10．（2021•辽宁）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）

A．80° B．95° C．100° D．110°

11．（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　  　（填“增加”或“减少”） 　　度．

命题点3  三角形的重要线段

类型一  与中点有关的问题 

12．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 　 　．

类型二  与角平分线有关的问题

13．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　 　．

14．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　  　．

15．（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4+2

类型三  与高有关的问题

16．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（　　）

A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm

17．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）

A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 

B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 

C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 

D．线段AD是△ABC的AC边上的高线

命题点4  等腰三角形

18．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（　　）

A．8 B．6 C．5 D．4

19．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（　　）

A．39° B．40° C．49° D．51°

20．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　　）

A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm

21．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（　　）

A．（5，4） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，3）

22．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

23．（2022•广安）若（a﹣3）2+＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 　   　．

24．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 　　．

25．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为 　  　．

26．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．

（1）求证：∠EBD＝∠EDB．

（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．

命题点5  等边三角形

27．（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（　　）

A．是轴对称图形 

B．对称轴的交点是其重心 

C．是中心对称图形 

D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合

28．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°

29．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（　　）

A． B． C． D．

30．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 　  　．

命题点6   直角三角形

类型一  勾股定理及其应用

31．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC＝，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为（　　）

A． B． C． D．1

32．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（　　）

A．120m B．60m C．60m D．120m

33．（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（　　）

A．2 B．2﹣3 C．2或 D．2或2﹣3

34．（2022•广元）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）

A． B．3 C．2 D．

35．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（　　）

A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9

36．（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　  　（结果用含m的式子表示）．

37．（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC　 　断裂（填“会”或“不会”，参考数据：≈1.732）．

38．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是 　 　．

39．（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 　 　．

40．（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

类型二  直角三角形的性质及计算

41．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（　　）

A．34° B．44° C．124° D．134°

42．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

43．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．4

44．（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE＝AE＝1，则CD＝　　．

45．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．

（1）求证：CE＝CM．

（2）若AB＝4，求线段FC的长．

命题点7  等腰直角三角形

46．（2022•德州）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为（　　）

A．100° B．105° C．110° D．120°

47．（2022•安顺）如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．45°

48．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为（　　）

A．20 B．60 C．30 D．30

49．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（　　）

A．12 B．9 C．6 D．3

50．（2022•黔西南州）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC与DE相交于点F．若BC∥AE，则∠AFE的度数为 　  　．

51．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为 　　．

52．（2022•绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝2，CD＝2，则△ABE的面积为 　  　．