2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期末数学试题含解析

这是一份2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期末数学试题含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别解指数不等式与绝对值不等式，列举法写出集合B，再求交集可得结果.
【详解】∵，
∴，
∴.
故选：B.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解.
【详解】“，”的否定为“，”，
故选：C.
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项.
【详解】因为，
故选：C.
【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题
4．已知在三角形中，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】因为在三角形中，，则，
所以，
又，所以，
所以，
故选：.
5．若，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用指数、对数的单调性，以及三角函数特殊值，即可得出结果.
【详解】解：，
，，
，
∴，
故选：A.
6．要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】先将转化为，由此根据三角函数图像变换的知识判断出正确选项.
【详解】，，因为，所以需要将的图象向右平移个单位.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
7．已知函数，，若对，恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，函数在时取最大值，所以，根据即可求得的值.
【详解】由函数对，恒成立可知
函数在时取最大值，即
所以，，即
又因为，
所以时，
故选：D
8．函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的，，则函数的定义域为，
，则函数为偶函数，排除BC选项，
当时，，则，排除D选项.
故选：A.
9．已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先化简函数式，然后根据的范围求出的范围，在有且仅有3个零点，再利用正弦函数相关知识求的范围．
【详解】，
因为当时，，
又因为在上有且仅有3个零点，所以，
综上：，
故选：A
10．已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将问题转化为与图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围.
【详解】由题设，将问题转化为与的图象有四个交点，
，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；
的图象如下：
所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，
由图及函数性质知：，易知：，，
所以.
故选：C
二、填空题
11．___________.
【答案】4
【分析】根据指数对数运算性质化简计算即可
【详解】
故答案为：4.
12．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为____________．
【答案】
【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.
【详解】解：如图，
依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为
则，则，即．
因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数．
故答案为：.
13．已知，则的值为______.
【答案】
【分析】进行切弦互化即可求值
【详解】，∴，
∴.
故答案为：
14．函数在区间上的最小值是______.
【答案】##
【分析】由题得，转化为求函数，的最小值得解.
【详解】解：，
设，
所以，.
二次函数抛物线的对称轴为,
由于，.
所以函数的最小值是.
故答案为：
15．已知函数，若实数满足，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据奇偶性定义可判断出为定义在上的偶函数，从而将所求不等式化为；根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定在上单调递增，由偶函数性质可知在上单调递减，由此可得，解不等式即可求得结果.
【详解】的定义域为，，
为定义在上的偶函数，
；
当时，单调递增，在上单调递增；
又在上单调递减，在上单调递增，
图象关于轴对称，在上单调递减；
则由得：，即，解得：，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
16．已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是______.
【答案】
【分析】先利用常数分离法化得函数，再构造函数，判断得为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可.
【详解】因为，，
令，，则，
因为定义域关于原点对称，，
所以是在上的奇函数，
故由奇函数的性质得，
所以，
所以，则.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：由于奇函数的图像关于原点对称，所以其最大值与最小值也关于原点对称，这一性质是解决本题的关键所在.
三、解答题
17．已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由同角平方关系可得，再由二倍角正余弦公式有、，最后利用和角正弦公式求值.
（2）由题设可得，根据，结合差角余弦公式求出对应三角函数值，由角的范围确定角的大小.
【详解】（1）由，，则，
所以，，
而.
（2）由题设，而，则，
而.
又，则.
18．已知函数，且函数的最小正周期为π．
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值，并指出此时的值．
【答案】(1)
(2)时，最小值为； 时，最大值为 2．
【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再由最小正周期可得解；
（2）利用三角函数的图象变换可得，再利用整体法可得解.
【详解】（1）∵函数
的最小正周期为π，
∴，解得，.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
由，可得，
故当，即当时，函数取得最小值为；
当，即当时，函数取得最大值为 2．
19．已知函数.
(1)求函数的周期和单调递减区间；
(2)将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先根据三角函数的平移变换规则求出的解析式，根据，得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得；
【详解】（1）解：∵
，
即，
所以函数的最小正周期，
令，解得.
故函数的单调递减区间为.
（2）解：由题意可得，
∵，∴，
∵，所以，则，
因此
.
20．已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求的解析式；
（2）已知，，且，若存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（1）根据题意分析可得，解可得、的值，则可得出函数的解析式；
（2）因为，所以，展开利用基本不等式可得，
则只需使，然后求解不等式即可解得实数的取值范围．
【详解】解：（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，可得，则，
又由得，则，可得，
则．
（2）因为，，且，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
若存在，使成立，则，即，
解得：，又，
所以实数的取值范围是．
【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：
（1）当奇函数在处有意义时，则有；
（2）若存在，使成立，只需使，然后根据，利用基本不等式求解的最小值．