2021-2022学年广西百色市百色民族高级中学高一下学期素质拓展数学试题含解析

2021-2022学年广西百色市百色民族高级中学高一下学期素质拓展数学试题

一、单选题

1．已知向量的夹角为60°，且，，则向量在方向上的投影向量的模等于（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】由已知及向量数量积的运算律可得，求出向量的模，再由向量在方向上的投影向量的模，即可得结果.

【详解】由题设，，而，

所以，可得或(舍)，

综上，向量在方向上的投影向量的模为.

故选：B

2．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且直观图的面积为2，则该平面图形的面积为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【解析】根据平面图形和直观图的度量关系和位置关系，找到线段和角度关系，则该平面图形的面积易求.

【详解】解：设等腰梯形对应该平面图形，则，，，

，

故选：B.

3．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得

，故选A．

【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．

5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（    ）

A．10海里 B．10海里

C．20海里 D．20海里

【答案】A

【分析】先确定∠CAB和∠ACB,然后由正弦定理可直接求解.

【详解】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，

根据正弦定理得＝，

解得BC＝10 (海里)．

故选：A

【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.

6．已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（    ）

A．2 B． C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据题意，判断截面顶角的范围，求得面积最大时顶角的大小，即可用三角形面积公式求得结果.

【详解】如图是圆锥的轴截面，由题意母线，高，

则，

是锐角，所以，

于是得轴截面顶角，

所以当两条母线夹角为时，截面面积为为所求面积最大值．

故选：B．

【点睛】本题考查圆锥轴截面的计算，注意本题中关于何时截面面积最大的讨论，属基础题.

7．一质点受到平面上的三个力(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知成60°角，且的大小分别为2和4，则的大小为

A．6 B．2

C． D．

【答案】D

【解析】根据力平衡可得，平方运算后可求得，开平方可得结果.

【详解】由题意得：，即：

本题正确选项：

【点睛】本题考查向量模长的求解，关键是通过平方将问题转变为向量数量积运算和模长运算问题，属于基础题.

8．在中，是的中点，是的中点，若，则（    ）

A．1 B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据是的中点，，为的中点，得到，然后结合，求出的值.

【详解】解：∵是的中点，，为的中点，

∴

，

∵，∴，，

∴，

故选：D.

9．已知向量＝(3,4)，＝(2，－1)，若向量＋x与－垂直，则x的值为

A． B． C． D．2

【答案】A

【详解】, ，由于 ，则， ，选A.

10．点、、、，若，，则的夹角为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】， ，因为，所以，则的夹角为，故选D．

11．下列说法中正确的个数是（    ）

①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；

②圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面．

③以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】由棱柱，圆台的定义，旋转体的性质判断．

【详解】有两个侧面是矩形的棱柱中，如果这两个侧面相互平行，此时棱柱不一定是直棱柱，①错；

圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面，②正确；

以直角梯形的不与底面垂直的腰所在直线为轴旋转所得的旋转体不是圆台，③错．

只有一个命题正确．

故选：B．

12．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则

A．90 B．60 C．45 D．30

【答案】D

【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA＝1，即A＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C，从而得到B的值．

【详解】由正弦定理及得

,因为，所以；

由余弦定理、三角形面积公式及，得,

整理得，又,所以,故.

故选D

【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．

二、多选题

13．下列说法错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得

C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为

【答案】ABC

【分析】由数量积定义可知A错误；通过反例可确定BC错误；根据单位向量和共线向量定义可确定D正确.

【详解】对于A，若，则，无法得到，A错误；

对于B，若，，则，此时不存在满足的实数，B错误；

对于C，若，则，，无法得到，C错误；

对于D，，由单位向量和共线向量定义可知与共线的单位向量为，D正确.

故选：ABC.

14．在水流速度为10的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（    ）

A．北偏西30° B．北偏西60° C．20 D．30

【答案】AC

【分析】如图所示，设，，解三角形即可得出．

【详解】如图所示，设，，所以，而，所以，即船出发时行驶速度的大小为20，方向为北偏西30°．

故选：AC．

15．下列说法错误的有（    ）

A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同

B．在中，必有

C．若，则，，一定为一个三角形的三个顶点

D．若，均为非零向量，则

【答案】ACD

【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则，向量的模的应用判断、、、的结论．

【详解】解：对于：非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同或为零向量，故错误；

对于：在中，必有，故正确；

对于：若，则，，一定为一个三角形的三个顶点，

或、、三点共线时，也成立，故错误；

对于，均为非零向量，则，故错误；

故选：．

16．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.

【详解】第四个顶点为，

当时，，

解得，此时第四个顶点的坐标为；

当时，，

解得，此时第四个顶点的坐标为；

当时，，

解得，此时第四个项点的坐标为．

∴第四个顶点的坐标为或或．

故选:ABC.

【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.

17．下列各组向量中，不能作为基底的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.

【详解】A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．

【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.

18．在中，角、、的对边分别为，，，若，，则使此三角形有两解的的值可以是（    ）

A．5 B． C．8 D．

【答案】BC

【分析】根据三角形解的个数判断，即为锐角时，三角形有两解.

【详解】当为锐角时，三角形有两解.

，，

的值可以是，8，

故选：BC.

【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，考查运算求解能力，属于基础题.

19．已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解.

【详解】设，则，

当点P靠近点时，，

则，

解得，

所以，

当点P靠近点时，，

则，

解得，

所以，

故选：AD

【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

20．下列关于平面向量，，的运算，一定成立的有（　　）

A．  B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据数量积的定义及运算律判断即可；

【详解】解：对于A：根据平面向量数量积的分配律可知一定成立，故A正确；

对于B：由数量积的结果为数量，则表示与共线的向量，

表示与共线的向量，则与不一定相同，即B错误；

对于C：设与的夹角为，则，因为，

所以，故C正确；

对于D：，，

由C知，所以，

即，即，故D正确；

故选：ACD

21．在中，若，则的形状可能为（    ）

A．直角三角形 B．等腰(非等边)三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】ABCD

【分析】利用正弦定理对变形可得，再利用二倍角公式可得，从而可得或，进而可判断三角形的形状

【详解】由题知，根据正弦定理，

可得，

即或，

即或，

可能为直角三角形，等腰（非等边）三角形，等腰直角三角形，等边三角形.

故选：ABCD.

22．在中，，则的面积可以是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】AD

【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案．

【详解】解：∵，

由余弦定理得，

∴，

∴，或，

∴由的面积公式得或，

故选：AD．

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．

三、双空题

23．已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是_____，的最小值是_____．

【答案】         

【分析】根据投影的定义求得在方向上的投影即可得投影向量，求出，结合二次函数性质可得最小值.

【详解】由题意，

在方向上的投影为，在方向上的投影向量为；

，

所以时，取得最小值3，取得最小值.

故答案为：；.

24．已知向量，．若时，，则____；若对任意，，则____．

【答案】          0

【分析】（1）根据向量平行的坐标表示的公式可得结果，（2）根据已知可得，经过向量数量积的运算，代入坐标得到结果.

【详解】（1）根据，，，

解得：；

（2）

，

解得：.

故选；.

【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，和向量数量积的坐标表示，属于简单题型.

25．我国古代数学家刘徽在《九章算术·主释》中指出：“凡望极高、测绝深而兼知极远者，必用重差.”也就是说目标“极高”、“绝深”等不能靠近进行测量时，必须用两次（或两次以上）测量的方法加以实现.为测量某山的高度，在，测得的数据如图所示（单位：），则山高______，到山顶的距离______.

【答案】         

【分析】设，将用表示，在中，用余弦定理，建立方程，求解即可.

【详解】设，在中，，

在中，，

在中，由余弦定理，

得

，

，解得或（舍去）

.

故答案为：；.

【点睛】本题以数学文化为背景，考查测量问题，利用余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.

26．，，，则________，________.

【答案】     2     1

【分析】（1），将条件代入即得；

（2）由得，代入解方程可得.

【详解】（1）；

（2）由得，所以得.

故答案为：(1). 2    (2). 1

【点睛】本题主要考查了向量模的计算，向量垂直的性质运用.