2021-2022学年重庆市第八中学校高一（艺术班）下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年重庆市第八中学校高一（艺术班）下学期期末数学试题

一、单选题

1．下列统计中的数字特征，不能反映样本离散程度的是（       ）

A．众数 B．极差 C．方差 D．标准差

【答案】A

【分析】利用众数、极差、方差、标准差的定义直接求解．

【详解】解：对于A，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，

众数是一组数据中占比例最多的那个数，它不能能反映样本数据的离散程度大小，故A错误；

对于B，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度大小，故B正确；

对于C，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，

即方差能反映样本数据的离散程度大小，故C正确；

对于D，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故D正确．

故选：A．

2．已知向量，，，且，，则

A．3 B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，得到求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.

【详解】因为向量，，，且，，

所以，解得：，即，，

所以，因此.

故选：B.

【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标表示，向量垂直的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.

3．某商家2021年4月至7月的商品计划销售额和实际销售额如图表所示：

则下列说法正确的是（    ）

A．4月至7月的月平均计划销售额为22万元

B．4月至7月的月平均实际销售额为27万元

C．4月至7月的月实际销售额的数据的中位数为25

D．这4个月内，总的计划销售额没有完成

【答案】C

【分析】A.B.利用平均数公式求解判断；C.利用中位数的定义求解判断；D.根据平均计划销售额和平均实际销售额大小比较判断.

【详解】A.4月至7月的月平均计划销售额为，故错误；

B.4月至7月的月平均实际销售额为，故错误；

C.4月至7月的月实际销售额的中位数为，故正确；

D.因为，可知这4个月内，总的计划销售额已经完成，故错误；

故选：C.

4．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是

A．2 B． C．4 D．   

【答案】C

【详解】分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解.

详解：设椭圆的右焦点为连接

因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形.

所以,

所以=|AF|+=2a=4,

故答案为:C

点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.

5．如图在梯形中，，，设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.

【详解】因为，，

所以，

又，，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.

6．已知两点，点在直线上，则的最小值为（    ）

A． B．9 C． D．10

【答案】C

【分析】根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.

【详解】依题意，若关于直线的对称点，

∴，解得，

∴，连接交直线于点，连接，如图，

在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，

则有，当且仅当点与重合时取等号，

∴，故 的最小值为.

故选：C

7．已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设上底面边长为，则下底面边长为，高为，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出侧面等腰梯形的高为，最后根据梯形的面积公式可求出结果.

【详解】设上底面边长为，则下底面边长为，高为，

上底面正方形对角线长为，下底面正方形对角线长为，

又侧棱长为，所以，解得，

所以侧面等腰梯形的高为，

所以该棱台的侧面积为.

故选：A.

8．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（    ）．

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】D

【分析】首先根据题意得到若圆上存在点，使得，则以为直径的圆与圆有交点.从而得到圆与圆内切时，取得最大值，再求最大值即可.

【详解】圆，圆心，半径.

若圆上存在点，使得，则以为直径的圆与圆有交点.

如图所示：当圆与圆内切时，取得最大值.

.

故选：D

二、多选题

9．设复数，则（    ）

A．

B．z的虚部为2

C．

D．z在复平面内对应的点位于第三象限

【答案】AD

【分析】利用复数的除法化简复数，即可判断各选项的正误.

【详解】由，对应点位于第三象限，

所以，z的虚部为-2，．

故选：AD

10．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】结合空间中直线与平面的位置关系进行判定，也可以通过举例说明命题错误.

【详解】对于A，因为，所以，A正确；

对于B，因为时，也可以平行，所以B错误；

对于C，因为，所以，C正确；

对于D，因为时，直线也可能在平面内，所以D错误；

故选：AC.

11．已知直线和圆，则下列说法正确的是（    ）．

A．直线l恒过定点

B．直线l与圆O相交

C．当时，直线l被圆O截得的弦长为2

D．直线l被圆O截得的最短弦的长度为

【答案】BD

【分析】把直线方程变形为，即可求出直线过的定点，从而判断选项A；根据定点在圆内，可判断选项B；把代入直线方程，根据直线过圆心，可求出弦长为直径，从而判断选项C；根据点为弦的中点时，直线l被圆O截得的弦最短，从而可判断选项D.

【详解】直线整理得，故直线过定点，故A错误；

由于点在圆O内，故直线l与圆O相交，B正确；

当时，直线过圆心O，故直线l被圆O截得的弦为直径，其长为4，C错误；

当点为弦的中点时，直线l被圆O截得的弦最短，

此时的弦长为，故D正确．

故选：BD．

12．在边长为4的正方形中，如图1所示，，，分别为，，的中点，分别沿，及所在直线把，和折起，使，，三点重合于点，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．

B．三棱锥的体积为4

C．三棱锥外接球的表面积为

D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的最小值为

【答案】ACD

【分析】根据线面垂直可判断A；根据三棱锥的等体积法结合体积公式可判断B；求得三棱锥外接球的半径，即可求得外接球的表面积，判断C；将三棱锥补成长方体，确定最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，求得截面圆半径，即可得截面的面积，判断D.

【详解】对于A：由题意知平面 ，

所以 平面，平面，所以 ，故A正确；

对于B：,

因为M为的中点，所以,

故B错误；

对于C：因为两两垂直，

故三棱锥的外接球半径和长宽高分别为的长方体的外接球半径相等，

故其外接球半径,

故外接球表面积，故C正确；

对于D：将三棱锥补成如图所示长方体，，

设长方体外接球球心为O，即为三棱锥的外接球球心

过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，

最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，,

此时截面圆半径为 此时截面圆的面积为 ，

所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的最小值为，故D正确,

故选：ACD

三、填空题

13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为________.

【答案】45

【分析】计算出高一年级学生人数占全部年级人数的比例，根据其抽取的人数，可求得结果.

【详解】由题意得;高一年级学生人数占比为 ，

故根据按年级用分层抽样的方法抽取若干人，抽取的高一年级的学生数为18，

则抽取的样本容量为 ，

故答案为：45

14．已知非零向量满足，则与的夹角为__________.

【答案】

【分析】直接把两边同时平方化简即得解.

【详解】因为，

所以，

所以.

所以与的夹角为.

故答案为：

15．在一个由三个元件构成的系统中，已知元件正常工作的概率分别是，，，且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为______．

【答案】

【分析】先求出都不工作的概率，可得至少有一个能正常工作的概率，继而求得这个系统正常工作的概率.

【详解】由题意可知都不工作的概率为，

所以至少有一个能正常工作的概率为，

故这个系统正常工作的概率为，

故答案为：

16．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．

【答案】

【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②，

∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，

∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．

【解析】椭圆的简单性质

四、解答题

17．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，．

(1)求的大小；

(2)求的面积

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正弦定理即可求解；

（2）由三角形的内角和求得角，再由三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）在中，，，，

由正弦定理得即，所以，

因为，所以，

因为，所以

（2）因为，所以，

所以的面积为.

18．如图，在正方体中，是的中点，是的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）连接，易得，根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）根据正方体的结构特征可得，平面，则有，再根据线面垂直的判定定理可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证.

【详解】（1）证明：连接，

则与互相平分，

因为是的中点，是的中点，

所以点为的中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）证明：连接，

在正方体中，

，平面，

因为平面，

所以，

又，平面，

所以平面，

又平面，

所以.

19．2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图

(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据频率直方图按照中位数和平均数的计算方法即可求得答案；

（2）确定第 组中的人数，从而求得5名学生中每组抽取的人数，列举出抽取两人的所有情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.

【详解】（1）设中位数为x,平均数为,

因为前三个矩形面积为，

故，解得；

.

（2）人，人,即第五组有30人，第六组有20人,

人，人，即需从第五组抽取3人，从第六组抽取两人,

设从抽取的5人中抽取2人，设五组的三人为 ，第六组的两人为 ,

则共有抽法为，共10种，

其中恰有一人得分为90及以上的抽法有6种，

故90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．

20．已知圆C的圆心C在直线上，且圆C过，两点，

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点作圆C的切线l，求切线l的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出线段的中垂线方程，和直线，即求得圆心坐标，接着求得半径，可得答案；

（2）设切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求得答案.

【详解】（1）∵，∴线段的中垂线斜率为.

又线段的中点为，∴线段的中垂线方程为，即.

由可得,即，∴半径为，

∴圆C的标准方程为.

（2）由题知，切线l的斜率存在，设切线l的斜率为k，

则，即.

∴，解得，,

∴l的方程为或.

21．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．

由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．

又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

（2）在平面内作，垂足为，

由（1）可知，平面，故，可得平面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）及已知可得，，，.

所以，，，.

设是平面的法向量，则

即

可取.

设是平面的法向量，则

即可取.

则，

所以二面角的余弦值为.

【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：

①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；

②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；

③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.

22．已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，点在椭圆S上，过的直线l交椭圆S于A，B两点.

(1)求椭圆S标准方程；

(2)求的面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知条件，列出关于的方程组，求解方程组即可得答案；

（2）设，联立椭圆方程，由韦达定理及求出的面积，然后利用均值不等式即可求出的面积的最大值.

【详解】（1）解：设椭圆S的半焦距为，

由题意解得

∴椭圆S的标准方程为；

（2）解：由（1）得，

设，代入，得，

设，则，

∴，

∴，当且仅当即时，等号成立，

故的面积的最大值为.