2021-2022学年重庆市第八中学校高一（艺术班）下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年重庆市第八中学校高一（艺术班）下学期期中数学试题

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数的几何意义可得复数，利用复数的乘法可求得结果.

【详解】由复数的几何意义可知，故.

故选：A.

2．已知向量，，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量平行的坐标表示，建立方程，可得答案.

【详解】由，，，则，解得.

故选：C.

3．在中，已知角A，B，C所对的边为a，b，c，，，，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】利用正弦定理求解.

【详解】在中，由正弦定理得，

解得，

故选：B.

4．边长为2的正三角形，其水平放置的直观图的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据斜二测作图法作出直观图，再计算面积即可.

【详解】根据原图作出直观图如图所示：

在中，，，，

所以中，边上的高为，

所以的面积为，

所以水平放置的直观图的面积为，

故选：D.

5．在中，点是边的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由向量的减法法则可得出结果.

【详解】由题意知.

故选：C.

【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查平面向量减法的三角形法则的应用，考查计算能力，属于基础题.

6．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.

【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.

故选：B.

7．已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系逐一进行分析即可．

【详解】解：对于A：若，则或或与相交，故A错误；

对于B：要得到，则需要与平面内两条相交直线垂直，只有得不到，故B错误；

对于C：若，则或与相交，故C错误；

对于D：若，由面面垂直的判定定理可得，故D正确；

故选：D

8．如图所示，正六边形的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为（    ）

A．[2，6] B．[-2，6] C．[4，12] D．[-4，12]

【答案】B

【分析】以正六边形的中心为原点，所在的直线为轴，的中垂线所在的直线为轴，建立坐标系，利用的运算求解.

【详解】解：建立如图所示的坐标系：

因为正六边形的边长为2，

所以，，，

设，

则，

所以，

由题意可知，

所以，

所以，

即.

故选：B

二、多选题

9．以下四种说法正确的是（    ）

A．=i

B．复数的虚部为

C．若z=，则复平面内对应的点位于第二象限

D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数

【答案】ABD

【分析】利用复数的乘方运算计算判断A，C；利用复数的意义判断B；利用复数的几何意义判断D作答.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，复数的虚部为，B正确；

对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确；

对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.

故选：ABD

10．已知空间中的两个不同平面和两条不同直线，若，则（    ）

A．直线可能平行 B．直线可能异面

C．直线可能垂直 D．直线可能相交

【答案】ABC

【分析】以正方体为例，结合平面∥平面，列举所有情况，即可求得．

【详解】空间中的两个不同平面和两条不同直线a，b，由，

以正方体为例，平面∥平面，

对于A，平面，平面，，故A正确；

对于B，平面，平面，与是异面直线，故B正确；

对于C，平面，平面，与垂直，故C正确；

对于D，直线没交点，不可能平行，故D错误．

故选：ABC．

11．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，

C．与夹角为锐角时，则的取值范围为

D．当时，在上的投影向量为

【答案】ACD

【分析】根据向量垂直、平行、数量积的坐标运算，投影向量的定义求解判断．

【详解】，则，，A正确；

，则，，B错误；

与夹角为锐角时，则，，此时向量不同向，所以C正确；

时，，，，

所以在上的投影向量为，D正确．

故选：ACD．

12．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，则（     ）

A．当时， B．四棱锥体积的最大值为

C．当平面截直四棱柱所得截面面积为时 D．四面体的体积为定值

【答案】AD

【分析】根据给定条件逐一分析各个选项，再推理、计算并判断作答.

【详解】在直四棱柱中，底面是正方形，，，

对于A，当时，点P为线段AC中点，连DP，，如图，

，而平面，平面，则，又，平面，

则有平面，而平面，于是得，又对角面是矩形，

即，所以，A正确；

依题意，平面，而点P在AC上，则点P到平面距离的最大值为AB=1，

而矩形面积为，所以四棱锥体积的最大值为，B不正确；

对于C，当时，点P在AC上靠近点C的四等分点，平面截直四棱柱所得截面为等腰梯形，如图，

显然，则，，

等腰梯形的高 ，

等腰梯形的面积，

由几何体的对称性知，当平面截直四棱柱所得截面面积为时，或，C不正确；

因平面，则点P到平面的距离等于点A到平面的距离，为定值，又的面积为定值，

所以四面体的体积为定值，D正确.

故选：AD

【点睛】方法点睛：作多面体截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，

或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.

三、填空题

13．i虚数单位，则的值为___________.

【答案】

【分析】方法一：利用复数运算法则及模长公式即可求得    

方法二：利用及模长公式即可求得

【详解】方法一：由题意

方法二：由题意

故答案为：

14．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则实数k=___.

【答案】

【分析】利用共线向量且方向相反的意义，列式计算作答.

【详解】因为向量与的方向相反，则存在负实数，使得，

即，而，不共线，因此，解得，

所以.

故答案为：

15．已知三棱锥的体积为1，、、分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥的体积为___.

【答案】##0.125

【分析】根据给定条件，利用等体积法结合三棱锥体积计算作答.

【详解】三棱锥中，令点A到平面的距离为，因为是棱OA的中点，则点到平面的距离为，

又、分别为棱OB、OC的中点，则有，

因此.

故答案为：

16．若锐角的面积为，且，则等于_________.

【答案】

【详解】由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．

【解析】1、三角形面积公式；2、余弦定理．

【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．

四、解答题

17．已知a，bR，i是虚数单位，若复数与=2+bi互为共轭复数.

(1)判断复平面内对应的点在第几象限;

(2)计算.

【答案】(1)在第一象限

(2)3+4i

【分析】（1）根据共轭复数的定义求得，得复数，再得其对应点的坐标，从而得其所在象限；

（2）由复数的乘方法则计算．

【详解】（1）因为复数与=2+bi互为共轭复数，

则a=2，b=1，=2+i，其对应的点为，

故在第一象限;

（2）．

18．已知 中，D是边 上一点， ， ， .

(1)求 的长;

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求得答案；

（2）判断三角形形状，利用三角形面积公式即可得答案.

【详解】（1）由已知，则在中，，

即， ;

（2）中， ，，

为等腰直角三角形，

故的面积为.

19．已知向量，，.

(1)若，求;

(2)求的最大值.

【答案】(1)

(2)9

【分析】（1）由，得，解出；

（2）化简，求得的最大值.

【详解】（1）因为，所以，

得，又，所以；

（2）因为，

所以当时，的最大值为5＋4＝9.

20．如图，在正方体中， E为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；

（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .

【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法

如下图所示：

在正方体中，且，且，

且，所以，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面；

[方法二]:空间向量坐标法

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，，，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，，则.

又∵向量,,

又平面，平面；

（Ⅱ）[方法一]：几何法

延长到，使得，连接，交于，

又∵，∴四边形为平行四边形，∴，

又∵,∴,所以平面即平面,

连接，作,垂足为,连接,

∵平面,平面,∴，

又∵,∴直线平面,

又∵直线平面,∴平面平面,

∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，

根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.

设正方体的棱长为2，则,,∴,

∴,

∴,

即直线与平面所成角的正弦值为.

[方法二]：向量法

接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，

又∵,∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

[方法三]：几何法+体积法

 如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．

因为，

所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．

设正方体的棱长为2，在中，易得，

可得．

由，得，

整理得．

所以．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

[方法四]：纯体积法

设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，

在中，，

，

所以，易得．

由，得，解得，

设直线与平面所成的角为，所以．

【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；

（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.

21．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；

（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.

【详解】（1）由正弦定理可得：，

，

，.

（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式

由余弦定理得：，

即.

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为.

[方法二]：正弦化角（通性通法）

设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．

[方法三]：余弦与三角换元结合

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，

所以周长的最大值为．

【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；

方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.

方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.

22．如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且.

(1)求证:CD平面PAD;

(2)求二面角的余弦值;

(3)设点G在线段PB上，且直线AG在平面AEF内，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）证明PACD，ADCD，证明CD平面PAD；

（2）以A为原点建立空间直角坐标系，写出平面AEF的法向量，计算二面角的余弦；

（3）设，用表示，由与垂直，建立方程，解出.

【详解】（1）因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，

所以PACD，又因为ADCD，PAAD=A，PA，AD平面PAD，

所以CD平面PAD；

（2）过点A作AD的垂线交BC于点M，

因为PA平面ABCD，AM，AD平面ABCD，

所以PAAM，PAAD，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

因为E为PD的中点，所以，

所以，，，

所以，，

设平面AEF的法向量为，则

，即，取，

又因为平面PAD的一个法向量为，

所以，

由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

（3）因为点G在PB上，设，，，，

由得，

即，所以，

由（2）知，平面AEF的法向量为，

因为直线AG在平面AEF内，，得，

综上，的值为.