2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期期末数学试题

一、填空题

1．若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为___________．

【答案】

【分析】根据圆柱表面积公式求解即可.

【详解】根据题意得到圆柱的高，底面半径，

则表面积.

故答案为：

2．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别为人、人、人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________.

【答案】

【分析】根据分层抽样的性质即可求解.

【详解】应该从青年员工中抽取的人数为人.

故答案为：6

3．袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：_____.

【答案】（答案不唯一）

【分析】先写出袋中任取个球，共有的情况，再写出一个不等可能的样本空间即可.

【详解】从袋中任取个球，

共有如下情况.

其中一个不等可能的样本空间为，

此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.

故答案为：.(答案不唯一)

4．已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为_____.

【答案】

【解析】由圆锥的底面半径为和侧面积,求出圆锥的母线长,即可求得答案.

【详解】设底面半径为,母线长为,底面中心为,

如图:

解得:

在中,

故母线与底面所成角的大小为:.

故答案为:.

【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.

5．某公司决定利用随机数表对今年新招聘的名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程度，先将这名员工进行编号，最后一位编号为，从中抽取名进行调查，下图提供随机数表的第行到第行：

32 21 18 34 29   78 64 54 07 32   52 42 06 44 38   12 23 43 56 77   35 78 90 56 42

84 42 12 53 31   34 57 86 07 36   25 30 07 32 86   23 45 78 89 07   23 68 96 08 04

32 56 78 08 43   67 89 53 55 77   34 89 94 83 75   22 53 55 78 32   43 77 89 23 45

若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则抽到的第名员工的编号是_____.

【答案】

【分析】根据随机数表的抽法及所给数表依次抽取即可.

【详解】前名员工的编号是：，其中超过和与前面重复的去掉不算，

故抽到的第名员工的编号是.

故答案为：328

6．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学赛，他们取得的成绩（满分分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值为________.

【答案】

【分析】根据茎叶图可计算平均数和中位数即可求解.

【详解】甲班平均分  

解得，乙班中位数是第个数和第个数的平均数，

即，解得，所以.

故答案为：10

7．圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是______.

【答案】

【分析】由题可得圆台上下底面的半径分别为和，结合母线长可得圆台的高，后由圆台体积公式可得答案.

【详解】由题可得圆台上底面半径，下底面半径.又母线l长为，

则圆台的高，

故圆台的体积.

故答案为：

8．某创业公司共有名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了位代表，得到的数据分别为.若用样本估计总体.则公司中年龄在内的人数占总人数的百分比是__________. （其中是平均数，为标准差，结果精确到）

【答案】

【分析】先求得平均数和方程，根据题意求得正确答案.

【详解】因为，   ，即，

，

所以年龄在内的人数为，

所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比约为.

故答案为：

9．如图，在棱长为的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足：直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为__________.

【答案】

【分析】根据题意确定与直线所成角的大小为，从而得到，即可求解.

【详解】由题意得，要使直线与直线所成角的大小为，

只需与直线所成角的大小为，

所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示：

，所以,

点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，

所以在上扫过的面积为.

故答案为: .

10．从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________

【答案】

【分析】求出基本事件的总数，考虑表面和对角面求出可以构成三角形的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.

【详解】从正方体的八个顶点中随机选取3个点，共有，

正方体有个面和个对角面都是正方形或矩形，每个图形中都有个直角三角形，

所以有个直角三角形，

所以所求的概率为，

故答案为：.

11．现对某批电子元件的寿命进行测试，因此使用随机数法从该批次电子元件中抽取200个进行加速寿命试验，测得的寿命（单位：h）结果如下表所示：

试估计这批电子元件的第60百分位数____________

【答案】170

【分析】根据条件及百分位数的含义即得.

【详解】∵，

故这批电子元件的第60百分位数160.

故答案为：170.

12．甲、乙两位同学参加元旦抽奖活动，老师在不透明箱子内放入形状与质地相同的个球，其中有个红球，个白球，每人每次只能抽取一个球.规定：①抽取后放回；②甲同学只能抽取一次，乙同学可以抽取两次；③红球抽取个数较多的同学可以获得奖品.则乙同学获得奖品概率是________.

【答案】##0.5

【分析】列出乙同学红球抽取个数较多的所有情况，计算出概率之和.

【详解】甲乙抽取一次抽到红球或者白球的概率都是，每次摸球相互独立，乙同学要获得奖品的话，需要比甲同学抽取的红球多，可能的情况有：

①甲红乙两红，概率为；

②甲白乙先红后白，概率为；

③甲白乙先白后红，概率为；

④甲白乙两红，概率为，

所以乙获胜的概率是.

故答案为：

二、单选题

13．现要完成下列项抽样调查：

①从盒饼干中抽取盒进行食品卫生检查；

②某中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样本，较为合理的抽样方法是（    ）

A．①简单随机抽样，②分层抽样

B．①简单随机抽样，②简单随机抽样

C．①分层抽样，②分层抽样

D．①分层抽样，②简单随机抽样

【答案】A

【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特征判断抽样方法.

【详解】①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；

②总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样．

故选：A.

14．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解.

【详解】由题得最多人被感染的概率为.

故选：A

【点睛】方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.

15．如图，已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线相交，直线平面

D．直线与直线异面，直线平面

【答案】A

【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得∥平面，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而得.

【详解】连接，在正方形中，由M为的中点，可知，且M为的中点，.

又∵N为D，B的中点，∴.

∵平面，平面，

∴∥平面.

∵平面，平面，

∴，

∵，平面，

∴平面，

∵平面，

∴，故A正确.

故选：A

16．如图两正方形，所在的平面垂直，将沿着直线旋转一周，则直线与所成角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】可证得，故，，当沿着直线旋转一周，，且，结合线线角的取值范围即得解.

【详解】如下图所示，

连接，因为正方形和，则，，又因为面面，面面，

则面，

因此.

因此，，，

则，

因此

因为，

则当沿着直线旋转一周，

，

当为锐角或直角时，直线和所成角的等于

当为钝角时，直线和所成的角等于的补角

因此直线和所成的角的取值范围是

故选：C.

【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

三、解答题

17．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.

(1)求该圆锥的体积；

(2)求直线CD与平面PAB所成角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.

（2）作出直线CD与平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小.

【详解】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高，

所以圆锥的体积为.

（2）连接，由于是的中点，所以，

由于是弧的中点，所以，

根据圆锥的几何性质可知，

所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角.

在中，，所以.

即直线CD与平面PAB所成角的大小为.

18．某学校对任课教师的年龄状况和接受教育程度（学历）做调研，其部分结果（人数分布）如表：

（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；

（2）若按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值.

【答案】（1）（2）x＝40，y＝5

【详解】试题分析：（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人，研究生2人，由此利用列举法能求出从中任取2人，至少有l人的学历为研究生的概率.（2）由题意得：，由此能求出N，从而能求出x，y的值

试题解析：（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴，解得m＝3.

∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，

分别记作S1、S2；B1、B2、B3.

从中任取2人的所有基本事件共10个：

（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），

（B2，B3），（B1，B3）.

其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），

（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）.

∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为

（2）依题意得：，解得N＝78.

∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.

∴ ,解得x＝40，y＝5.∴x＝40，y＝5.

【解析】古典概型及其概率计算公式

19．在长方体中，，，，为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线和所成的角的大小.

【答案】（1）证明见详解；（2）

【分析】（1）由题中长度关系，可以证明,即，由平面，可以证明，即得证；

（2）取为中点，有，异面直线和所成的角的大小即为，利用余弦定理可得解

【详解】（1）由题意，，，，为棱的中点.

故

即：

又长方体，故平面

平面，

又

平面

（2）取为中点，连接，故

且

故四边形为平行四边形

故，即异面直线和所成的角的大小即为

连接，

因此异面直线和所成的角的大小为

【点睛】本题考查了线面垂直的证明和异面直线的夹角的求解，考查了学生综合分析，逻辑推理，数学运算能力，属于基础题

20．如图所示为M、N两点间的电路，在时间T内不同元件发生故障的事件是互相独立的，它们发生故障的概率如下表所示：

(1)求在时间T内，与同时发生故障的概率；

(2)求在时间T内，由于或发生故障而使得电路不通的概率；

(3)求在时间T内，由于任意元件发生故障而使得电路不通的概率．

【答案】(1)0.3；

(2)0.8；

(3)0.94

【分析】（1）利用独立事件概率公式即求；

（2）利用互斥事件概率公式及独立事件概率公式即求；

（3）设表示发生故障，由题可得，即得.

【详解】（1）设表示发生故障，

则，

单位时间T内，与同时发生故障的概率：

．

（2）在时间T内．由于或发生故障而影响电路的概率：

．

（3）设表示发生故障，则

，

在时间T内，任一元件发生故障而影响电路的概率：

．

21．前些年有些地方由于受到提高的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识，把大量的污染物排放到空中与地下，严重影响了人们的正常生活，为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭、整顿，另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物.通过几年的整治，环境明显得到好转，针对政府这一行为，老百姓大大点赞.

（1）某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分如下表：

请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图：

（2）当地环保部门随机抽测了2018年11月的空气质量指数，其数据如下表：

用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）（相关知识参见附表）

（3）空气受到污染，呼吸系统等疾病患者最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品，花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2018年11月份（参考（2）中表格数据）小李比以前少花了多少钱的医药费？

附：

【答案】（1）见解析（2）指数为第Ⅱ级，属于良（3）相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费

【分析】（1）由题可计算出频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，然后画图．

（2）由题计算得该月空气质量指数平均值为，）指数为第Ⅱ级，属于良

（3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，则可计算该月的药费，从而得到答案．

【详解】解：（1）由评分表可知，相应区间频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，其频率分布直方图如图所示：

（2）由题得，该月空气质量指数平均值为

.

对照表格可知，该月空气质量指数为第Ⅱ级，属于良.

（3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，

所以小李花费的药费为元.

又元，

所以相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费.

【点睛】本题由图表计算即可，属于简单题．