2022-2023学年北京市师大附中高二上学期数学期末试题含解析

2022-2023学年北京市师大附中高二上学期数学期末试题

一、单选题

1．已知向量，且，那么（    ）

A． B．9 C． D．18

【答案】D

【分析】，则，使得，据此计算即可.

【详解】依题意，由可知，，使得，于是，解得

于是.

故选：D.

2．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒

【详解】由题知圆心为，半径，

∴圆的方程为﹒

故选：A﹒

3．已知双曲线的渐近线方程为，则实数m的值为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】B

【分析】利用双曲线方程得出，再利用渐近线定义得，解方程求出值.

【详解】已知方程表示的曲线为双曲线，所以，

该双曲线的渐近线为，又，得出

故选：B.

4．若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.

【详解】∵椭圆的右焦点坐标为，

∴抛物线的焦点坐标为，

∴抛物线的准线方程为，

故选：D.

5．已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程

【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，

因为直线过点，所以，得，

所以直线方程为，

故选：B.

6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.

【详解】建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为，

则点A到平面的距离.

故选：C

7．如图，在正方体中，E是棱CD上的动点．则下列结论不正确的是（    ）

A．平面

B．

C．直线AE与所成角的范围为

D．二面角的大小为

【答案】C

【分析】由平面平面，平面，即可判断A；建立空间直角坐标系计算即可判断选项B；求的范围即可判断选项C；先找出二面角的平面角为即可判断选项D，进而可得正确选项．

【详解】对于选项A：因为平面平面，平面，

所以平面，故选项A正确；

如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，

，，，对于选项B：，，

因为，所以，即，

故选项B正确；

对于选项C：，，设直线与所成角为，

则，

当时最大等于，此时最小为，

当时最小等于0，此时最大为，所以，

即直线与所成角的范围为，故选项C不正确；

对于选项D：二面角即二面角，

因为，，

平面，平面，

所以即为二面角的平面角，

在正方形中，，所以二面角的大小为，

故选项D正确，

故选：C.

8．设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意正整数n，”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．

【详解】是首项为正数的等比数列，若公比，则数列中奇数项为正，偶数项为负，一定有，充分性满足，

但是时，数列各项均为正，，也就是说时，得不出，不必要．

故选：A．

9．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化圆的方程为，求出圆心与半径，由题意，只需与直线有公共点即可．

【详解】解：圆的方程为，整理得：，即圆是以为圆心，1为半径的圆；

又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，

只需圆与直线有公共点即可．

设圆心到直线的距离为，

则，即，

．

的最小值是．

故选：．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“与直线有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．

10．已知曲线，点，下面有四个结论：

①曲线C关于x轴对称；

②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积不超过4；

③曲线C上任意点P满足；

④曲线C与曲线有5个不同的交点．

则其中所有正确结论的序号是（    ）

A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③

【答案】D

【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到的距离可做出判断③；由直线与曲线的关系可判断④.

【详解】①：在上时，也在上，曲线关于轴对称，故①对；

②：当 ，此时曲线是椭圆的右半部分.矩形的面积为封闭图形面积不超过故②对；

③：当时 ，， ，

当时，，

当 时，，综上，可知曲线上任意点满足，故③对.

④：与曲线相交于点，与曲线相交于点，

当 时，，此时双曲线的渐近线方程为，与， 平行，

故不会有交点.所以共有3个交点，故④错.

故选：D.

二、填空题

11．已知等比数列中，，则数列的前5项和____________．

【答案】

【分析】设等比数列的公比为q，由条件结合等比数列通项公式列方程求 q，利用等比数列求和公式求．

【详解】设等比数列{an}的公比为q，

因为，，所以，解得，

则数列的前5项和.

故答案为：．

12．已知圆，若直线与圆C相交得到的弦长为，则____________．

【答案】##-0.75

【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆的弦长，列出关于k的方程，解之即可.

【详解】由圆，得圆心，半径，

则圆心到直线即的距离为

，所以，

有，解得.

故答案为：.

13．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为____________．

【答案】3

【分析】根据已知可得，，.根据椭圆的定义有，根据有.即可求出，进而求出三角形的面积.

【详解】

由已知可得，，，所以，.

因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，，

所以.

又，所以为直角三角形，则，

所以，所以.

故答案为：3.

14．已知正方体的棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在平面内，点Q在线段A1N上，若，则PQ长度的最小值为____.

【答案】1

【分析】取的中点，连接，得到，求得，得到点在以为圆心，1为半径的半圆上，在平面图形中，求得，结合，即可求解.

【详解】如图所示，取的中点，连接，则平面，所以，

因为，正方体的棱长为2，是的中点，

所以，

所以点在以为圆心，1为半径的位于平面内的半圆上，

单独画出平面及相关点、线，如图所示，

所以点到的距离减去半径就是长度的最小值，

连接，作交于，

则，

所以，解得

所以长度的最小值为.

故答案为：.

三、双空题

15．角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（m为正整数），①若，则使得至少需要_______步雹程；②若；则m所有可能取值的和为_______．

【答案】     9     385

【分析】根据题目所给的步骤逐步计算即可.

【详解】m=13，依题意， ，

共9共 步骤；

若， ，  或，

若，

若，

的集合为 ，其和为385；

故答案为：9,385.

四、解答题

16．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据为等差数列，前项和为，，且成等比数列．利用公式即可求解公差和首项，可得数列的通项公式；

（2）将的带入求解的通项公式，利用“裂项求和”即可得出．

【详解】（1）根据为等差数列，．

前项和为，且，即，…①

∵成等比数列．可得：．∴…②

由①②解得：，∴数列的通项公式为

（2）由，

即=．

那么：数列的前项和

.

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．如图.在正方体中，E为的中点．

(1)求证：平面ACE；

(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）连连接BD与AC交于点O，根据中位线定理可知，然后根据线面平行的判定定理可得.

（2）建立空间直角坐标系，计算，平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.

【详解】（1）如图所示：

，

连接BD与AC交于点O，

因为O，E为中点，

所以,又平面，平面，

所以平面；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系

令，所以

设平面的一个法向量为

所以，令

所以，

所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值

18．如图，在三棱柱中，平面，是边长为的正三角形，分别为 的中点．

(1)求证：平面．

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明，，进而根据判定定理即可证明；

（2）取的中点为，连接，证明，，进而建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，利用坐标法求解即可；

【详解】（1）解：在三棱柱中，因为平面，平面，

所以．

又为等边三角形，为的中点，

所以．

因为平面，

所以平面 ．

（2）解：取的中点为，连接，

因为在三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以

所以．由（1）知，

故建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

由题意得

所以，．

设平面的法向量，

则，令，则，所以．

由题意可知，平面的一个法向量

因为．

由已知可得二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

19．已知椭圆：的离心率为，且经过点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，使得两条不同直线，恰好关于轴对称.

【解析】（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及，即可求出，进而可求得椭圆的标准方程；

（2）设直线l的方程为，与椭圆联立，可得，的表达式，根据题意可得，直线，的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q点坐标.

【详解】（1）有题意可得，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）存在定点，满足直线，恰好关于x轴对称，

设直线l的方程为，由，

联立得，，

设，定点，由题意得，

所以，

因为直线，恰好关于x轴对称，

所以直线，的斜率互为相反数，

所以，即，

所以，即，

所以，即，

所以当时，直线，恰好关于x轴对称，即.

综上，在轴上存在定点，使直线，恰好关于x轴对称.

【点睛】本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线，恰好关于x轴对称，转化为直线，的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

20．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.

（1）求E的方程；

（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.

【答案】（1）x2＝4y；（2）证明见解析.

【解析】（1）利用抛物线的定义与性质求得的值，即可写出抛物线方程；

（2）设点、，由直线的方程和抛物线方程联立，消去，利用韦达定理和、、三点共线，化简整理可得的方程，从而求出直线所过的定点．

【详解】（1）由题意得，解得，

所以，抛物线的标准方程为.

（2）证明：

设点、，设直线的方程为，

联立，消去得，

由韦达定理得，，

由轴以及点在直线上，得，

则由、、三点共线，得，

整理得，

将韦达定理代入上式并整理得，

由点的任意性，得，得，

所以，直线的方程为，即直线过定点.

【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，利用韦达定理处理由、、三点共线是解第二问的关键，是中档题．

21．已知有限数列为单调递增数列．若存在等差数列，对于A中任意一项，都有，则称数列A是长为m的数列．

（1）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）：

①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．

（2）若，证明：数列a，b，c为数列；

（3）设M是集合的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的数列．

【答案】（1）①数列，，，是数列；②数列，，，是数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案；

（2）分当，和三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解；

（3）假设中没有长为的数列，先考虑集合，得到存在一个，使得中没有一个元素属于，再考虑集合，得到存在一个，使得中没有一个元素属于，进而证得集合中至多有个元素，即可得到结论.

【详解】（1）由数列的新定义，可得数列，，，是数列；数列，，，是数列．

（2）①当时，令，，，，

所以数列，，，为等差数列，且，

所以数列，，为数列．

②当时，令，，，，

所以数列，，，为等差数列，且．

所以数列，，为数列．

③当时，令，，，，

所以数列，，，为等差数列，且．

所以数列，，为数列．

综上，若，数列，，为数列．

（3）假设中没有长为的数列，

考虑集合，，，，．

因为数列，，，，是一个共有5项的等差数列，

所以存在一个，使得中没有一个元素属于．

对于其余的，

再考虑集合，，，，．

因为，，，，是一个共有5项的等差数列，

所以存在一个，使得中没有一个元素属于．

因为中个数成等差数列，所以每个中至少有一个元素不属于．

所以集合中至少有个元素不属于集合．

所以集合中至多有个元素，这与中至少有个元素矛盾．

所以假设不成立．

所以中的元素必能构成长为4的数列．

【点睛】1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；

2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.