2022-2023学年北京市顺义区高二上学期期末质量监测数学试题含解析

2022-2023学年北京市顺义区高二上学期期末质量监测数学试题

一、单选题

1．下列直线中，斜率为1的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由斜率的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A，直线的斜率为；

对于B，直线的倾斜角为，斜率不存在；

对于C，直线的斜率为；

对于D，直线的斜率为.

故选：C.

2．已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（    ）

A．0.56 B．0.14 C．0.24 D．0.94

【答案】A

【分析】根据相互独立事件的乘法公式求解即可.

【详解】因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，

所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为.

故选:A.

3．若直线与直线的交点为，则实数a的值为（    ）

A．-1 B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】由题意可列方程，解方程即可得出答案.

【详解】直线与直线的交点为，

所以.

故选：A.

4．已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（    ）

A．圆心，半径 B．圆心，半径

C．圆心，半径 D．圆心，半径

【答案】A

【分析】将圆的方程化为标准方程，从而可得圆心与半径.

【详解】由化为标准方程可得，

故圆心，半径.

故选:A.

5．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高，得到的数据如下（单位：）：

甲：9，10，10，11，12，20；

乙：8，10，12，13，14，21．

根据上述数据，下面四个结论中，正确的结论是（    ）

A．甲种麦苗样本株高的极差大于乙种麦苗样本株高的极差

B．甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值

C．甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数

D．甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差

【答案】D

【分析】分别求出甲乙的极差、平均值、中位数与方差，逐项判断即可.

【详解】甲种麦苗样本株高的极差为，乙种麦苗样本株高的极差为，故A错误；

甲种麦苗样本株高的平均值为，

乙种麦苗样本株高的平均值为，故B错误；

甲种麦苗样本株高的中位数为，

乙种麦苗样本株高的中位数为，故C错误；

甲种麦苗样本株高的方差为；

乙种麦苗样本株高的方差为，

故D正确.

故选:D.

6．抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数．设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则事件的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据和事件的概率的求法求得正确答案.

【详解】事件表示“两个点数之和等于或至少有一个骰子的点数为”.

基本事件的总数为，

事件包含的基本事件为：，

，共种，

所以事件的概率是.

故选：C

7．若双曲线（，）的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据渐近线求得，进而求得离心率.

【详解】双曲线的渐近线为，所以，

所以.

故选：D

8．空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】点关于平面对称的点的坐标为,选B

9．已知椭圆C的焦点为，．过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.

【详解】依题意，解得，

由于椭圆的焦点在轴上，

所以椭圆的标准方程为.

故选：B

10．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若∥平面，下列说法正确的是（    ）

A．线段长度最大值为，无最小值

B．线段长度最小值为，无最大值

C．线段长度最大值为，最小值为

D．线段长度无最大值，无最小值

【答案】C

【分析】分别取的中点,根据面面平行的判定定理可得平面平面，故点的轨迹为线段.当与点或重合时，线段长度最大，当为线段的中点时，线段长度最小，求解即可.

【详解】分别取的中点,

因为，平面，平面，

所以平面,同理可得平面.

因为平面,所以平面平面.

因为P是底面上一点．且∥平面，

所以点的轨迹为线段.

因为正方体的棱长为2，所以,,

当与点或重合时，；

当为线段的中点时，.

所以线段长度最大值为，最小值为.

故选:C.

二、填空题

11．某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人．为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为_____________．

【答案】90

【分析】先求出高三年级的学生人数，再根据分层抽样的定义即可求解.

【详解】由题意可得高三年级有学生人，

抽取容量为240的样本进行调查，

那么在高三年级的学生中应抽取的人数为人.

故答案为:.

12．若圆和圆外切，则______.

【答案】4

【分析】根据两圆外切则圆心距等于半径之和即可求解.

【详解】圆圆心为，半径为1，

圆圆心为，

所以圆心距，

因为两圆外切，所以,所以.

故答案为：4.

13．如图，在四面体中，，，，D为的中点，E为的中点，若，其中x，y，，则___________，___________，___________．

【答案】     ##     ##     ##

【分析】根据空间向量的线性运算可得，从而可求解.

【详解】因为D为的中点，E为的中点，

所以

.

因为，所以.

故答案为:.

三、双空题

14．已知点M在抛物线上，F是抛物线的焦点，直线交x轴于点N，若M为线段的中点，则焦点F坐标是___________，___________．

【答案】         

【分析】根据抛物线方程直接求出焦点坐标；设，根据中点坐标公式可得，根据点M在抛物线上可求得，再根据两点间的距离公式即可求解.

【详解】由，可得焦点在轴上，且焦点坐标为.

设，则.

因为点M在抛物线上，所以,解得.

所以.

故答案为:;.

15．现代几何学用曲率概念描述几何体的弯曲程度．约定：多面体在每个顶点处的曲率等于减去该点处所有面角之和（多面体每个侧面的内角叫做多面体的面角），一个多面体的总曲率等于该多面体各顶点处的曲率之和．例如：正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是，所以正方体在各顶点处的曲率为．按照以上约定，四棱锥的总曲率为__________；若正十二面体（图1）和正二十面体（图2）的总曲率分别为和，则__________0（填“>”，“<”或者“=”）．

【答案】         

【分析】根据曲率、总曲率的知识求得正确答案.

【详解】（1）四棱锥有个三角形、一个四边形，个顶点，

四棱锥的总曲率为：.

（2）正十二面体有个正边形，个顶点，

每个面的内角和为，

所以.

正二十面体有个正三角形，个顶点，

每个面的内角和为，

所以.

所以.

故答案为：；

四、解答题

16．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图．

(1)求频数分布表中c的值及频率分布直方图中a，b的值；

(2)从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，求2人恰好在同一个数据分组的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据频数和求得，通过计算小长方形的高求得.

（2）根据古典概型概率计算公式求得所求概率.

【详解】（1）由，解得.

，.

（2）不低于14小时，有的人，记为；的人，记为，

从中任取人，基本事件为，共种，

其中2人恰好在同一个数据分组的情况为：，共种，

所以2人恰好在同一个数据分组的概率为.

17．如图，在三棱柱中，，且，底面，E为中点．

(1)求证：；

(2)求证：平面

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，，再由线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；

（2）利用面面平行的判定定理先证明平面平面，再由面面平行的性质定理即可证明线面平行.

【详解】（1）底面且平面，

，

又且，平面，

平面，

又平面，

（2）

取的中点，连接，

因为分别为的中点可知，，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面，同理可得平面，

又因为，平面，

所以平面平面，

又因为平面，

所以平面

18．已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点A．

(1)求r的值；

(2)若点B为圆O上一点，且直线垂直于直线l，求弦长．

【答案】(1)2；

(2).

【分析】（1）求出，代入圆的方程即可求解；

（2）根据直线垂直于直线l，可求直线的斜率，根据点斜式可求直线的方程，再利用垂径定理即可求解.

【详解】（1）在中，令，得，故.

因为圆O：经过点A，所以，解得.

（2）直线l的斜率为2，因为直线垂直于直线l，所以直线的斜率为.

所以直线的方程为，即.

圆心到直线的距离为，

所以.

19．如图，在长方体，，，点E在上，且．

(1)求直线与直线所成角的余弦值；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求点A到平面的距离

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与直线所成角的余弦值.

（2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.

（3）利用向量法求得点A到平面的距离

【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，

，

设直线与直线所成角为，

则.

（2），

设平面的法向量为，

则，故可设，

设直线与平面所成角为，

则.

（3），

所以到平面的距离为.

20．已知椭圆C：的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F．

(1)求椭圆C的离心率和的面积；

(2)已知直线与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线的垂线，垂足为G．判断直线是否与y轴交于定点？请说明理由．

【答案】(1)离心率为，的面积为；

(2)见解析.

【分析】（1）根据椭圆经过点可求出，从而可求离心率，求出的坐标，从而可求的面积；

（2）设，则,联立，可得，的方程为，令，得，代入化简即可求解.

【详解】（1）因为经过点，所以，解得.

所以椭圆C：，，

所以.

因为,,

所以.

（2）设，则,

则的方程为，

令，则①.

联立，可得，

因为过定点，在椭圆内，所以与椭圆恒有两个交点，

故，.

所以.

代入①，可得，

故直线是否与y轴交于定点.

【点睛】定点定值点睛：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21．对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．

(1)判断集合是否为平衡集，并说明理由；

(2)若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数；

(3)若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数．

【答案】(1)不是，理由见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）由平衡集的定义即可判断；

（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明；

（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解.

【详解】（1）不是，理由如下，

对于集合，去掉3后，中的元素分成两个集合后，不满足两个集合的所有元素之和相等，

故集合B不是平衡集.

（2）证明：设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，

故（，2，…，n）的奇偶性相同

已知为奇数，则为奇数，易得为奇数，

所以，集合A中元素个数n为奇数.

（3）证明：由（2）知若集合A是平衡集，并且为奇数，集合A中元素个数为奇数，

显然时，集合A不是平衡集，

当时，不妨设，若集合A为平衡集，

去掉后，得，去掉后，得，

两式矛盾，故时，集合A不是平衡集，

当，设集合，

去掉1后，，

去掉3后，，

去掉5后，，

去掉7后，，

去掉9后，，

去掉11后，，

去掉13后，，

故集合是平衡集，

所以，集合A中元素个数.