2022-2023学年江苏省淮安市高二上学期1月期末数学试题含解析

2022-2023学年江苏省淮安市高二上学期1月期末数学试题

一、单选题

1．以直线为准线的抛物线标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，直接写出抛物线标准方程作答.

【详解】因为抛物线的准线是直线，则该抛物线焦点在y轴上，开口向下，其标准方程为，

所以所求抛物线标准方程为.

故选：C

2．已知直线：，：，若，则 （    ）

A．－1 B．3 C． D．

【答案】D

【分析】根据直线垂直得到，即可求得结果.

【详解】因为直线，且，

故，解得.

故选：D.

3．设数列是等比数列，且，，则（    ）

A．8 B．16 C．32 D．64

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式，求出公比的平方即可求解作答.

【详解】设等比数列的公比，因为，，

则，解得，

所以.

故选：A

4．直线与曲线相切于点，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】直线与曲线相切于点,

可得求得的导数,可得,即可求得答案.

【详解】直线与曲线相切于点

将代入可得:

解得:

由,解得:.

可得,

根据在上

,解得:

故选:.

5．已知直线l：，圆C：，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则（    ）

A．1 B．3 C． D．4

【答案】B

【分析】由数形结合结合点线距离即可求

【详解】由题意得，，则点C到直线l的距离为，

圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则如图所示，直线l交圆于A、B垂直半径于，.

故，故.

故选：B

6．数列满足，，则的最大值为（    ）

A．3 B．2 C． D．－1

【答案】B

【分析】根据递推公式，写出数列的前几项，判断数列的周期，即可求解.

【详解】由条件可知，，，则，

则，，，所以数列是周期为3的数列，由前3项可知，的最大值为2.

故选：B

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．3 D．7

【答案】A

【分析】根据题意得，，，，由余弦定理解决即可.

【详解】由双曲线定义知，，

因为，

所以，，

因为，，

所以在中，由余弦定理得，

即，化简得，

所以，

故选：A

8．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用数形结合即可得出结论.

【详解】因为，即，假设，则，

此时构造函数，，，

由函数图像可知，在时，故.

故选：C

二、多选题

9．已知，关于曲线C：，下列说法正确的是（    ）

A．曲线C不可能是圆

B．曲线C可能是焦点在x轴上的椭圆

C．曲线C不可能是焦点在y轴上的椭圆

D．曲线C可能是双曲线

【答案】BD

【分析】根据的不同取值，结合椭圆和双曲线标准方程的形式，即可判断选项.

【详解】A.当时，，方程化简为，即为圆的方程，故A错误；

B.曲线方程整理为，当时，，曲线是焦点在轴上的椭圆，故B正确；

C.当时，，曲线是焦点在轴上的椭圆，故C错误；

D. 当时，，曲线表示双曲线，故D正确.

故选：BD

10．已知数列和满足，，，．则下列结论不正确的是 （    ）

A．数列为等比数列

B．数列为等差数列

C．

D．

【答案】BCD

【分析】对A，条件两等式相减，根据定义判断等比数列；

对B，条件两等式相加，根据定义判断等差数列；

对C，由B的结论求出通项，再求第6项；

对D，由AB的结论求出通项公式，再两式相加.

【详解】对A，，

即，，

故数列为首项为1，公比为3的等比数列，A对；

对BC，，

即，即，

故数列为首项为，公比为2的等比数列，

故，故，

故数列不为等差数列，，BC错；

对D，由A得，又，两式相加得，

即，D错.

故选：BCD

11．已知函数的定义域为，其导函数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】构造函数，其中，则，

所以，函数为上的增函数，则，即，所以，，A错B对；

因为，则，即，所以，，C对D错.

故选：BC.

12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经C上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则（    ）

A．

B．

C．的面积为

D．延长AO交直线于点M，

【答案】BCD

【分析】A选项，求出，进而求出直线的方程，与抛物线方程联立，得到，A错误；

求出，利用两点间距离公式求出，B正确；

求出，并求出高，得到三角形面积，C正确；

求出直线AO的方程，得到，根据三点共线，得到D正确.

【详解】中，令，即，解得：，故，

则直线必经过焦点，故直线的方程为，

即，

联立与得：，

故，所以，A错误；

将代入中，，故，

，B正确；

由于，则以为底，则高为，

其中，

故，C正确；

直线AO的方程为，令，则，故，

由于直线，点Q纵坐标为-4，

故三点共线，故延长AO交直线于点M，，D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．若圆：与圆：外切，则实数______．

【答案】

【分析】根据两圆外切列方程，从而求得的值.

【详解】圆的圆心为，半径为.

圆的圆心为，半径为.

由于两圆外切，所以，得.

故解得.

故答案为： .

14．已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为______．

【答案】

【分析】对求导，求出 的解即可求出答案.

【详解】因为,则

令,即,且

所以,所以的单调递增区间为

故答案为：

15．已知，是双曲线C：的两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点M，则的面积为______．

【答案】

【分析】根据题意求出圆方程和渐近线方程，联立求出点的坐标，进而可求面积.

【详解】由题可知，

所以线段为直径的圆方程为，

渐近线为，

联立得，因为在第一象限，所以，

所以，

故答案为: .

16．小张计划连续十年向某公司投放资金，第一年年初投资10万元，以后每年投资金额比前一年增加2万元，该公司承诺按复利计算，且年利率为10%，第十年年底小张一次性将本金和利息取回，则小张共可以取得______万元．（结果用数字作答）．

参考数据：，，．

【答案】305

【分析】根据给定信息，构建数列，再利用错位相减法求和作答.

【详解】依题意，小张每年向公司投资金额构成以10为首项，2为公差的等差数列，

，因此每年的投资到第十年年底的本金和利息和为，

10次投资到第十年年底本金和利息总和为，

则，

于是得，

两式相减得

，

则有，

所以小张共可以取得305万元.

故答案为：305

四、解答题

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

设等差数列的前n项和为，，______．

(1)求数列的通项公式；

(2)求的最大值．

注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)；

(2)49.

【分析】（1）选择①②③，利用已知列出关于等差数列公差、首项的方程组，再解方程组即可作答.

（2）利用（1）中结论，求出，再求其最大值作答.

【详解】（1）选①，设等差数列的首项为，公差为d，依题意，，解得，

所以数列的通项公式为.

选②，设等差数列的首项为，公差为d，依题意，，解得，

所以数列的通项公式为.

选③，设等差数列的首项为，公差为d，依题意，，解得，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，

所以当时，取得最大值49．

18．已知圆C过两点，，且圆心在直线上．

(1)求圆C的方程；

(2)过点作直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．

【答案】(1)；

(2)或．

【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解；

（2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可.

【详解】（1）设圆C的方程为，

则，解得，

所以圆C的方程为．

（2）设圆心到直线l的距离为d，

则，则．

当直线l的斜率不存在时，直线l：，满足题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，

所以，解得，

此时，直线l的方程为，即．

综上所述，直线l的方程为或．

19．已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列．

(1)求数列和的通项公式；

(2)记为区间中的整数个数，求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)根据关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式;

(2)计算后再应用等差数列前项和公式,等比数列前项和公式分组求和即可.

【详解】（1）因为，所以当时，；

当时，，

时也成立，所以．

设等比数列公比q，因为，，成等差数列，且，

所以，

则，所以，所以．

（2）因为为在区间中的整数个数，所以，

则

所以．

20．已知函数，．

(1)当时，求函数的极值；

(2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值．

【答案】(1)的极小值为，极大值为11；

(2).

【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答.

（3）利用导数探讨函数在的单调性，求出最小值即可求解作答.

【详解】（1）当时，函数定义域为R，，

当或时，，当时，，即函数在，上递减，在上递增，

因此当时，取得极小值，当时，取得极大值，

所以的极小值为，极大值为11．

（2）函数，，求导得，

因为，则由得，显然，

当时，，当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，

而，，则函数在上的最小值为，解得，

所以实数a的值为1.

21．已知函数，．

(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在上单调递增，即在上恒成立，由函数单调性讨论恒成立问题即可；

（2）由导数法直接研究或由换元法化简后研究恒成立问题.

【详解】（1），因为在上单调递增，

所以，恒成立，即恒成立，

因为在上单调递减，所以，则．

故实数a的取值范围为；

（2）因为恒成立，所以恒成立，

设，，则，

设，，则，所以在上单调递减，

且，，则，使，

即，且，，

列表得

所以，则.

解法二：恒成立，即恒成立，

令，，则，所以在上单调递增，

因为时，，所以在上的值域为．

因为，所以，恒成立，

设，，则，令得，列表得

所以，则．

解法三：恒成立，即恒成立，

令，，则在上单调递增，的值域为R．

因为，所以，恒成立，

设，，则，令得，列表得

所以，则．

故实数a的取值范围是．

22．已知椭圆E：的离心率为，A，B为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，原点O到直线AC的距离为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)P为椭圆上一点，直线AC与直线PB交于点Q，直线PC与x轴交于点T，设直线PB，QT的斜率分别为，，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，即可求解；

（2）解法一：首先设点，利用点的坐标表示直线PB的斜率，以及直线的方程，并利用直线方程联立求得点和的坐标，代入并化简直线的斜率，计算的值；

解法二：设直线PB：，与直线方程联立求点的坐标，并于椭圆方程联立求点的坐标，再求直线方程，得到点的坐标，即可求直线的斜率，并计算的值.

【详解】（1）原点O到直线AC：即的距离，

又，，解之得，，所以椭圆E的方程为．

（2）解法一：设，则，直线PB的斜率，

因为，，，所以PC：，

令得，所以，

又AC：，PB：，联立可得，

直线QT的斜率

，

所以

．

解法二：因为，，，所以AC：，

与PB：联立可得，

将PB：代入得，

所以，则，，

所以，

则直线PC的斜率为，

所以PC：，令得，则，

所以QT斜率为，

则．