2022-2023学年山东省菏泽市高二上学期期末数学试题含解析

  2021级高二上学期期末考试

数学试题

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.点关于坐标平面对称的点的坐标是（）

A.B.C.D.

2.已知直线与直线平行，则的值为（）

A.3B.C.3或D.3或4

3.已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）

A.B.C.D.

4.在等比数列中，，则公比的值为（）

A.1B.C.1或2D.1或

5.已知等差数列满足，若数列的前项和为，则（）

A.B.C.D.

6.已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（）

A.1    B.2    C.3    D.4

7.等轴双曲线的焦距为（）

A.2B.C.4D.

8.已知点与不重合的点共线，若以为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.设等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（）

A.最小B.

C.D.

10.下列说法正确的是（）

A.若是四面体的底面三角形的正心，则

B.在四面体中，苦，则四点共面

C.已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线的长为

D.若向量，则称为在基底下的坐标.已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为

11.已知曲线分别为的左､右焦点，点在上，且是直角三角形，下列判断正确的是（）

A.曲线的焦距为

B.若满足条件的点有且只有4个，则的取值范围是且

C.若满足条件的点有且只有6个，则

D.若满足条件的点有且只有8个，则的取值范围是

12.两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）.已知圆锥轴截面的顶角为，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为.当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线.在长方体中，，，点在平面内，下列说法正确的是（）

A.若点到直线的距离与点到平面的距离相等，则点的轨迹为拋物线

B.若点到直线的距离与点到的距离之和等于4，则点的轨迹为椭圆

C.若，则点的轨迹为拋物伐

D.若，则点的轨迹为双曲线

三､填空题：本大题共4小题，律小题5分，共20分.

13.已知的三个顶点分别是点，则的外接圆的方程为__________.

14.已知数列的前项和为，且，则__________.

15.如图，已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时：（1）当点在圆内且不与点重合时，点的轨迹是__________（从圆､椭圆､抛物线中选择一个填写，2分）；（2）当__________.（从>，=，<中选择一个填写，3分）时，点的轨迹是双曲线.

16.双曲线的左､右焦点分别为.过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为__________.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（满分10分）已知拋物线的焦点为，点在上.

（1）求的值及的坐标；

（2）过且斜率为的直线与交于两点（在第一象限），求.

18.（满分12分）已知圆的圆心在直线上，且与轴相交于点和.

（1）求圆的标准方程；

（2）若过点的直线与圆交于两点，且，试问符合要求的直线有几条？并求出相应直线的方程.

19.（满分12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面.

（1）若的中点为，求证：平而；

（2）若与底面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值.

20.（满分12分）已知数列的首项，且满足.

（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

21.（满分12分）已知双曲线的实轴长为2，且双曲线上任一点到它的两条渐近线的距离之积为.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）已知过点的直线与双曲线交于两点.

（i）当时，能否是线段的中点？若能，求出的方程；若不能，说明理由；

（ii）若点不是线段的中点，写出所满足的关系式（不要求证明）

22.（满分12分）已知椭圆的离心率是，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，且，求面积的最大值.

2021级高二上学期期末考试数学试题

参考答案

一､单项选择题：

1-8CBADABCD

二､多项选择题：

9.BCD10.ACD11.AC12.BD

三､填空题：

13.14.15.（1）椭圆（2）>16.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17.解：（1）将代入，得，解得，

所以点的坐标为.

（2）由（1）得抛物线方程为，

直线的方程为，

联立消得，

解得或，

因为在第一象限，所以，

所以，

所以

18.解：（1）由题设，中点为，则圆心在直线上，

联立，可得圆心为

圆的半径为，

综上，圆的标准方程：.

（2），

在圆外，

当直线斜率不存在时，直线方程为，则，

显然符合题设；

当直线斜率存在时，设为，联立圆可得：

若，则，

，可得：.

此时，直线，即.

综上，符合条件的直线有2条，分别为.

说明：利用垂径定理是处理圆弦长问题的通用方法，一般不用弦长公式处理圆的弦长问题.

19.解：（1）如图，取的中点，连接，

分别为的中点，

，

且，

且，

四边形是平行四边形，

，Q平面平面，

平面.

说明：也可以取中点G，通过证明平面AEG//平面PCD来证明结论.

（2）取中点的，，作，

由底面为直角梯形且，

，

由侧面底面，面面面，

在面的投影在直线上，又与底面所成的角为，

与底面所成角的平面角，

则为等边三角形.

以为原点，为轴建空间直角坐标系，如下图示：

，

则，

设平面的法向量

则取，

得

设平面的法向量

则取得

设平面与平面的夹角为，

则

平面与平面的夹角的余弦值为.

20.解：（1）由，两边取倒数得，

即，即

故数列是首项为，公比为3的等比数列，

所以，即，

所以数列的通项公式为

（2）由（1）知

①

②

两式相减得：

参考答案：（1）

（2）（i）不能（参看教材128页第13题）

（ii）

22.解：（1）由

又，解得

椭圆的标准方程为.

（2）当轴时，位于轴上，且，

当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，

由，得.

由，得①

且，

从而.

已知，可得.

设到直线的距离为，则，

结合化简得

当且仅当即时取等号，此时，满足不等式①

此时的面积最大，最大值为2.

综上，AOB的面积的最大值为2.