2022-2023学年上海市进才中学高二上学期期末数学试题含解析

上海市进才中学2022学年第一学期

数学期末

时间90分钟，满分100分，（2023年1月）

一、选择题:共20题，1－10题每题3分，11－20题每题4分，总计70分.

1. 过点，倾斜角为的直线方程为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解作答.

【详解】依题意，直线的斜率，

所以直线方程为：，即.

故选：B

2. 已知曲线经过点，根据该点坐标可以确定标准方程的曲线是（）

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不可能

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线、抛物线方程特点即可判断作答.

【详解】因为椭圆、双曲线标准方程中都含有2个参数，分别为长短半轴长、实虚半轴长，确定其标准方程需要2个独立条件，

因此经过点不能确定其标准方程的曲线是椭圆和双曲线，A，B都不是；

抛物线的标准方程只有1个参数，确定其标准方程只需1个条件，

因此经过点能确定其标准方程的曲线是抛物线，C是，显然D不是.

故选：C

3. 已知直线：和：，则“”是“直线与直线垂直”的（）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用两直线的方向向量垂直得出两直线垂直的充要条件，即可判断.

【详解】直线、的方向向量分别为、，由解得或5，

故直线与直线垂直的充要条件为或5，故“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.

故选：A

4. 已知方程表示圆，则实数的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据二元二次方程表示圆的要求可直接构造不等式求解.

详解】方程表示圆，，即，解得：，

实数的取值范围是.

故选：D.

5. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由双曲线方程可得渐近线方程；利用垂径定理可求得弦长.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径，

由双曲线方程知：渐近线方程为，即，

圆心到渐近线的距离，所求弦长为.

故选：B.

6. 如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答.

【详解】在长方体中，

，当是与的交点时，平面，与相交，A不是；

当点与重合时，平面，与相交，B不是；

当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是；

因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是.

故选：D

7. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出圆锥的底面半径和高即可求出圆锥的体积.

【详解】解：由题意

在圆锥中，设底面半径为

圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形

∴

解得：

由几何知识得

圆锥高：

∴圆锥体积：

故选：C.

8. 方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（）

A. 1 B. -4或1 C. -2或-4或1 D. -2或1

【答案】A

【解析】

【分析】分类讨论和分别小于0时的情况，即可得到实数λ的值

【详解】解：由题意

在双曲线中，焦距即

当即时，

解得：（舍）或

当即时，

解得：（舍）或（舍）

综上，

故选：A.

9. 已知抛物线：，点是经过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，且，则这样的直线（）

A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条

C. 有无穷多条 D. 不存在

【答案】D

【解析】

【分析】设出方程与抛物线方程联立，求出，建立方程，方程无解，可得答案.

【详解】抛物线：，.

显然直线斜率存在，设与抛物线：联立，

得，

则，所以无解.

故选：D

10. 已知是长方体，，E为BC中点，则异面直线与所成角的正切值为（）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线与所成角的余弦即可作答.

【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意，，棱BC中点，

，设异面直线与所成的角为，

则，，

所以异面直线与所成角的正切值.

故选：B

11. 当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，，结合中点坐标公式，利用点坐标表示出点坐标，代入椭圆方程中即可求得点轨迹方程.

【详解】设，，

为中点，，则，即，

又在椭圆上，，即，

点轨迹方程为：.

故选：D.

12. 已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径；根据过圆内一点的最长弦为直径可得；最短弦是与最长弦垂直的那条弦，可首先确定最短弦所在直线方程，进而利用垂径定理求得，由可求得结果.

【详解】由圆的方程知：圆心为，半径；

则过点的最长弦为直径，即；

过点的最短弦与最长弦垂直，则所在直线斜率，

所在直线方程为，即，

圆心到直线距离，，

四边形的面积.

故选：B.

13. 已知直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点，使得为钝角，则t的取值范围为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出点坐标并设出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理结合向量数量积的坐标表示求解作答.

【详解】抛物线的焦点，显然直线l的斜率存在，设其方程为，

由消去y得：，设，则，

，当且仅当且时取等号，

，，则

，而存在一点，使得为钝角，

即存在一点，使得，因此，则，即有，

所以t的取值范围为.

故选：A

14. 已知直线l：和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据l与C的上支交于不同的两点，联立两个方程，根据判别式和韦达定理列不等式，即可求出t的取值范围

【详解】解：由题意

在直线l：和双曲线C：中，

若l与C的上支交于不同的两点

∴即

∴解得：

∴t的取值范围为

故选：D.

15. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（）

A12 B. 2 C. 4 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的离心率及三角形周长，求出椭圆方程，再设出直线MN的方程，与椭圆方程联立求解三角形面积即可.

【详解】依题意，周长，解得，

而椭圆的离心率，则其半焦距，因此，

椭圆C：，，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，

由消去x得：，设，

则有，

，

令，函数在上单调递增，因此当时，取得最小值4，

即，的面积，当且仅当时取等号，

所以面积的最大值为12.

故选：A

16. 已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（）

①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值.

②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值.

A. ①真②真 B. ①假②真

C. ①真②假 D. ①假②假

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，借助点到直线距离计算判断①，利用斜率坐标公式计算判断②作答.

【详解】依题意，设，且有，双曲线的渐近线为，

因此为定值，①真；

设，则，且，显然，

否则，之一垂直于y轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x轴，其斜率不存在，不符合题意，

则为定值，②真，

所以①真②真.

故选：A

17. 已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（）

A. 或 B. 或

C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】分、、三种情况讨论，利用余弦定理、椭圆的定义以及三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】在椭圆中，，，则，

设，，则，

由余弦定理可得

，

当且仅当时，等号成立，即当点为椭圆短轴的端点时，取最大值，

且的最大值大于，所以，可以取，

当时，，可得，此时；

当时，由余弦定理可得，

因为，解得，此时；

当时，同理可得.

综上所述，或.

故选：D.

18. 设、椭圆左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（）

A. （0，1） B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】在△ 中，由正弦定理结合条件有：，再由的范围可求出离心率.

【详解】由，，设，，在 中，由正弦定理有：，

离心率，则  ；解得：，

由于，得，

显然成立，

由有，即，得，

所以椭圆离心率取值范围为.

故选：C

19. 已知曲线：与曲线：，且曲线C1和C2恰有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】当时，曲线为双曲线，则曲线C1和C2在y轴左侧必有两个不同交点，由直线斜率与渐近线斜率列式确定C1和C2在y轴右侧无交点的范围；

当时，曲线为圆或椭圆，则相切时有两个不同交点，再由数形结合可进一步判断其它两个交点的范围.

【详解】由题意，曲线过定点，曲线：，故的图象为的图象及其关于x轴对称的部分，如图所示.

（1）当时，曲线为双曲线，则曲线C1和C2在y轴左侧必有两个交点，又渐近线为，故当即时，曲线C1和C2在y轴右侧无交点，满足题意；

（2）当时，曲线为圆或椭圆，当曲线与相切时，有，消y得，由.

i.故当时，曲线C1和C2恰有两个不同的交点；

ii.当时，曲线C1和C2有零个不同的交点；

iii.当时，曲线C1和C2有四个不同的交点；

iv.当时，曲线C1和C2有三个不同的交点；

v.当时，曲线C1和C2有两个不同的交点.

综上，曲线C1和C2恰有两个不同的交点，实数m的取值范围为.

故选：D

20. 在平面上，定点、之间的距离，曲线C是到定点、距离之积等于的点的轨迹.以点、所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立直角坐标系.已知点是曲线C上一点，下列说法中正确的有（）

①曲线C是中心对称图形；

②曲线C上的点的纵坐标的取值范围是；

③曲线C上有两个点到点、距离相等；

④曲线C上的点到原点距离的最大值为

A. ①② B. ①②④ C. ①②③④ D. ①③

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，再利用各项的条件计算、判断作答.

【详解】依题意，令，设点是曲线C上任意一点，

则有，

显然，

即点关于原点对称点在曲线C上，因此曲线C是中心对称图形，①正确；

当时，，即，

当且仅当，即，亦即时取等号，

此时，而点在曲线C上，即成立，因此，

曲线C上的点的纵坐标的取值范围是，②正确；

曲线C上点P满足，则点P在y轴上，由得，解得，

因此曲线C上只有一个点到点、距离相等，③不正确；

因为，则，

当时，由余弦定理得，

于是得，，

当时，或，有或，

因此曲线C上的点到原点距离的最大值为，④正确，

所以说法中正确的有①②④.

故选：B

【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称.

二、解答题（共2题，21题10分，22题20分，总计30分）

21. 如图，已知四面体ABCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD.

（1）求证：；

（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，若此“鳖臑”中，，有一根彩带经过面ABC与面ACD，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直；

（2）将面与面沿展开成平面图形，则BD即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可.

【小问1详解】

因为平面，平面BCD，所以，

又，，平面ABC，所以平面，

因为平面ABC，所以.

【小问2详解】

将面与面沿展开成如图2所示的平面图形，连接BD，

所以彩带的最小长度为图2平面图中的长，

.

由（1）知，

在图1中，因为平面，平面BCD，所以，

又因为，所以，

故在图2中，，

所以在图2中，在中，由余弦定理得，

所以彩带的最小长度为.

22. 已知椭圆C：过点，椭圆C离心率为，其左右焦点分别为，，上下顶点为，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点Q是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；

（3）若M，N为椭圆C上相异两点（均不同于点），，的斜率分别是，，若.求证：直线MN必过定点，并求出定点坐标.

【答案】（1）；

（2）；

（3）证明见解析，定点.

【解析】

【分析】（1）利用离心率求出a，b的关系，再利用椭圆过的点求出方程作答.

（2）设出点Q的坐标，利用点到直线距离公式列式，求出点Q到直线的距离最大值即可求解作答.

（3）设出直线的方程，与椭圆方程联立结合斜率关系求解即可作答.

【小问1详解】

椭圆C离心率为，则，解得，椭圆C：过点，

则，于是得，

所以椭圆C的方程为.

【小问2详解】

由（1）知，，直线方程：，即，

设椭圆C上的动点，点到直线的距离为，

，其中锐角由确定，

而，则当时，，又，

所以面积的最大值为.

【小问3详解】

由（1）知，，显然直线的斜率存在，设直线方程为：，，

由消去y并整理得：，

，即，设，

则，，

整理得，则，

而，化简整理得，解得，满足，即直线过定点，

所以直线必过定点，该定点坐标为.

【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.