2021-2022学年云南省宣威市第三中学高二4月考试数学试题含答案

这是一份2021-2022学年云南省宣威市第三中学高二4月考试数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合,,则( )
A.B.
C.D.
答案：
B
解析：
【分析】
由集合并集的定义可得选项.
【详解】
由集合并集的定义可得,故选：B.
2.在复平面内,复数满足,则( )
A.B.C.D.
答案：
D
解析：
【分析】
根据复数的运算方法计算即可.
【详解】
.故选：D.
3.是等差数列的前项和,如果,那么的值是( )
A.B.C.D.
答案：
B
解析：
【分析】
由等差数列的性质：若,则即可得.
【详解】
,,故选B.
4.已知向量,满足,,且,则向量与的夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
答案：
D
解析：
【分析】
根据题意,由模的平方,可求出的值,代入向量求夹角的公式即可得结果.
【详解】
由题意可知：,解得：.
.故选：D.
5.已知,,,则( )
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
【分析】
先判断出、、,再判断出即可解题.
【详解】
因为,所以；
因,所以；
因为,所以.
所以.故选：B.
6.双曲线过点,离心率为,则该双曲线的标准方程为( )
A.B.
C.D.
答案：
B
解析：
【分析】
根据离心率以及双曲线的性质得出该双曲线的标准方程.
【详解】
由题意可得,因为双曲线过点,所以,即,解得,故该双曲线的标准方程为.
故选：B.
7.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为,则点在直线上的概率是( )
A.B.C.D.
答案：
D
解析：
【详解】
试题分析：利用分布计数原理求出所有的基本事件个数,在求出点落在直线上包含的基本事件个数,利用古典概型的概率个数求出.连续抛掷两次骰子出现的结果共有,其中每个结果出现的机会都是等可能的,点在直线上包含的结果有共三个,所以点在直线上的概率是,故选D．
8.函数的单调递减区间为（ ）
A.B.C.D.
答案：
B
解析：
【详解】
对函数求导,得(),令解得,因此函数的单调减区间为.故选B.
9.六个人站成一排照相,其中甲乙要相邻的站法种数有( )
A.B.C.D.
答案：
C
解析：
【分析】
相邻问题,由捆绑法求解.
【详解】
将甲乙捆绑视为整体,共有种.故选：C.
10.若,则( )
A.B.C.D.
答案：
C
解析：
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简,然后增添分母(),进行齐次化处理,化为正切的表达式,代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．故选：C．
二、多选题
11.已知函数,则( )
A.函数是偶函数
B.是函数的一个零点
C.函数在区间上单调递增
D.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
答案：
B、C、D
解析：
【分析】
利用特殊值法可判断A选项的正误；计算的值,可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断C选项的正误；利用三角函数图象变换可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项,令,
则,,故函数不是偶函数,A错；
对于B选项,因为,故是函数的一个零点,B对；
对于C选项,当时,,
所以,函数在区间上单调递增,C对；
对于D选项,因为,
所以,函数的图象可由的图象向左平移个单位得到,D对.
故选：BCD.
12.已知定义在上的函数,其导函数的大致图象如图所示,则下列叙述不正确的是( )
A.
B.函数在上递增,在上递减
C.函数的极值点为,
D.函数的极大值为
答案：
A、B、D
解析：
【分析】
对A,B由导数与函数单调性的关系,即可判断,,的大小以及的单调性,对C,D由极值的定义即可判断.
【详解】
由题图知可,当时,,
当时,,当时,,
所以在上递增,
在上递减,在上递增,
对A,,故A错误；
对B,函数)在上递增,在上递增,在上递减,故B错误；
对C,函数的极值点为,,故C正确；
对D,函数的极大值为,故D错误.故选：ABD.
三、填空题
13.在的展开式中,常数项为________.
答案：
解析：
【分析】
利用二项式定理求出通项公式并整理化简,然后令的指数为零,求解并计算得到答案.
【详解】
的展开式的通项为，
令,解得,
故常数项为.故答案为：.
14.已知,那么的最小值为________.
答案：
解析：
【分析】
根据给定条件,利用配凑的思想结合均值不等式求解作答.
【详解】
因为,则,当且仅当,即时取“”,所以的最小值为.故答案为：.
15.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,如果,那么________.
答案：
解析：
【分析】
根据给定条件,求出抛物线的准线方程,再结合抛物线的定义计算作答.
【详解】
抛物线的准线为：,设抛物线的焦点为F,
由抛物线的定义得：,
所以.故答案为：.
16.已知半径为的球中有一个各棱长都相等的内接正三棱柱,则这一正三棱柱的体积是________.
答案：
解析：
【分析】
由题意列方程求出正三棱柱的边长,然后求体积．
【详解】
设正三棱柱的边长为,则底面外接圆的半径为,
则其外接球的半径,解得,
故正三棱柱的体积．故答案为：.
四、解答题
17.已知数列是公差不为零的等差数列,,且,,成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设,求数列的前项和．
答案：
见解析
解析：
【分析】
(1)由题意列方程求公差,然后求通项公式；
(2)由分组求和法求解.
【详解】
（1）设数列的公差为,则,．
由,,成等比数列得,即,
又因为,解得或(舍去),所以．
（2）由(1)得,
所以,
所以．
19.已知的三个内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角的大小；
(2)若,的面积为,求,的值.
答案：
见解析
解析：
【分析】
(1)利用正弦定理化简已知条件,从而求得的大小.
(2)利用三角形的面积公式、余弦定理列方程,由此求得.
【详解】
(1)依题意：,
由正弦定理得,
由于,,所以,
由于,所以
(2)由余弦定理和三角形的面积公式得：
,
即,解得或.
20.某城市户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为,,的三组用户中用分层抽样的方法抽取户居民,并从抽取的户中任选户参加一个访谈节目,求参加节目的户来自不同组的概率.
答案：
见解析
解析：
【分析】
(1)根据小矩形的面积之和等于列方程即可求解；
(2)由最高小矩形底边中点的横坐标可得众数,根据中位数的左右两边小矩形的面积之和等于可得中位数；
(3)根据分层抽样可得三组的人数分别为户､户和户,求出基本事件的总数以及参加节目的户来自不同组包含的基本事件的个数,由古典概率公式即可求解.
【详解】
(1)由
得,所以直方图中的值是.
(2)月平均用电量的众数是.
因为,
且,
所以月平均用电量的中位数在内,
设中位数为,由,
解得,所以月平均用电量的中位数是224.
(3)月平均用电量为的用户有(户),
月平均用电量为的用户有(户),
月平均用电量在的用户有(户).
抽样方法为分层抽样,在,,中的用户比为,
所以在,,中分别抽取户､户和户.
设参加节目的户来自不同组为事件,
将来自的用户记为,,,
来自的用户记为,,
来自的用户记为,
在户中随机抽取户有,,,,,
,,,,,,,
,,,共15种取法,
其中满足条件的有,,,,,
,,,,,共种，
故参加节目的户来自不同组的概率.
21.在平面直角坐标系中,已知点,,设直线,的斜率分别为,,且,记点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线：与相交于,两点,求．
答案：
见解析
解析：
【分析】
(1)先设点,再建立方程,最后得到的方程：,()；
(2)先联立方程得到,再得到,最后求即可.
【详解】
(1)设点,则,,
因为,则,
整理得：,斜率存在,所以,
所以的方程为：.()
(2)设,,
由,消去得到,则,
所以,则,
所以.
22.如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.
(1)证明：；
(2)若是边长为的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.
答案：
见解析
解析：
【分析】
(1)由题意首先证得线面垂直,然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角,然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】
(1)因为,是中点,所以,
因为平面,平面平面,
且平面平面,所以平面．
因为平面,所以.
(2)[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示,以为坐标原点,为轴,为y轴,垂直且过的直线为 轴,建立空间直角坐标系,
则,设,
所以,
设为平面的法向量,
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为,
所以,解得．
又点到平面的距离为,所以,
所以三棱锥的体积为．
[方法二]：作出二面角的平面角
如图所示,作,垂足为点．
作,垂足为点,连结,则．
因为平面,所以平面,
为二面角的平面角．
因为,所以．
由已知得,故．
又,所以．
因为,
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角,记为,为,,
记二面角为．据题意,得．
对使用三面角的余弦公式,可得,
化简可得．①
使用三面角的正弦公式,可得,化简可得．②
将①②两式平方后相加,可得,
由此得,从而可得．
如图可知,即有,
根据三角形相似知,点为的三等分点,即可得,
结合的正切值,
可得从而可得三棱锥的体积为．
23.已知函数,为常数.
(1)若函数的图像在点处的切线方程为,求的单调区间；
(2)若函数在区间上是增函数,求的取值范围；
答案：
见解析
解析：
【分析】
(1)利用导数的几何意义求出,再求解导函数值大于或小于的取值区间作答.
(2)求出的导数,利用给定条件建立不等式,分离参数并构造函数,探讨函数值的范围即可作答.
【详解】
（1）函数的定义域为,,
因为函数的图像在点处的切线方程为,则有,解得,
从而有,当时,,当时,,即在上递减,在上递增,
所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
（2）因函数在区间上是增函数,则对恒成立．
即对恒成立,令,而
即函数在上单调递增,,,于是得,所以的取值范围是.