2022届云南省昆明市第一中学高三第八次考前适应性训练数学（文）试题含答案

  昆明市第一中学2022届高中新课标高三第八次考前适应性训川练

文科数学

一、选择题

1.在复平面内,若复数所对应的点落在直线上,其中为虚数单位,则（   ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】

由复数的运算先化简复数,得到复数所对应的点坐标,结合条件建立关于的方程,从而得到答案.

【详解】

,则复数所对应的点为

由题意,得,故选：B.

2.设集合,若,则由实数组成的集合为（   ）

A. B. C. D.

答案：

D

解析：

【分析】

由题设可知集合是集合的子集,集合可能为空集,故需分类讨论

【详解】

由题意,当时,的值为；当时,的值为；当时,的值为,

故选：D.

3.已知,,,则（   ）

A. 

B. 

C. 

D.

答案：

A

解析：

【分析】

根据指对数函数的性质判断、、的大小.

【详解】

由,所以.故选：A.

4.在“绿水青山就是金山银山”发展理念的指导下,治沙防沙的科技实力不断提升,并为沙漠治理提供了有力的资金和技术支持.现在要调查某地区沙漠经过治理后的植物覆盖面积和某野生动物的数量,将该地区分成面积相近的150个地块,用简单随机抽样的方法抽出15个作为样区,调查得到样本数据,其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量,经统计得,则该地区的植物覆盖面积和这种野生动物数量的估计值分别为（   ）

A. 

B. 

C. 

D.

答案：

B

解析：

【分析】

根据样区的数据,可得到该地区的的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均数估计值,从而可得答案.

【详解】

该地区的的植物覆盖面积的平均数估计值为公顷

所以该地区的的植物覆盖面积估计值为,

这种野生动物数量的估计值为,故选：B.

5.函数的部分图象大致为（   ）

A. B.

C. D.

答案：

A

解析：

【分析】

先利用奇偶性排除部分选项,再由函数值的符号判断排除可得选项.

【详解】

因为函数的定义域为R,且,

所以函数是奇函数,故排除C、D,

又,故排除B选项.故选：A.

6.在一次羽毛球男子单打比赛中,运动员甲､乙进入了决赛.比赛规则是三局两胜制.根据以往战绩,每局比赛甲获胜概率为,乙获胜概率为.利用计算机模拟实验,产生内的整数随机数,当出现随机数或时,表示一局比赛甲获胜,现计算机产生组随机数为：,据此估计甲获得冠军的概率为（   ）

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据题意,由随机数组来确定胜负情况,根据15组数据中满足条件的数组个数,除以总数即可得解.

【详解】

由计算机产生的组数据中,甲获得冠军的数据有,,,,,共组,

据此估计甲获得冠军的概率为,故选：C.

7.已知,则（   ）

A. B. C. D.

答案：

A

解析：

【分析】

由二倍角公式化简从而求解,根据角的范围求得,结合余弦两角差公式即可求解结果．

【详解】

由,得,,,

所以,,,

故选：A.

8.已知为所在平面上一点,若,则为的（   ）

A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

答案：

C

解析：

【详解】

试题分析：,所以,同理：,所以为的垂心．

9.已知圆周率满足等式,如图是计算的近似值的程序框图,图中空白框中应填入（   ）

A. 

B. 

C. 

D.

答案：

C

解析：

【分析】

观察选项模拟程序运行,即可得出答案.

【详解】

模拟程序的运行过程知,,,满足条件；

,,满足条件；

,,满足条件；

……

,

根据以上分析判断空白处应填写,故选：C.

10.已知分别是双曲线的左､右焦点,过点且倾斜角为的直线交轴于点,交双曲线的左支于点,若,则的渐近线方程为（   ）

A. 

B. 

C. 

D.

答案：

D

解析：

【分析】

由题可得,进而可得,,即得.

【详解】

由题意,点为的中点,又为的中点,

则为的中位线,

所以,

令,代入,可得,

在中,,,

得,

得（舍）,

则,得的渐近线方程为,故选：D.

11.已知三角形中,角所对的边分别为,已知,且,则的值为（   ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】

由条件可得,然后可得,然后结合余弦定理可得答案.

【详解】

因为,所以得,

又因为,所以,进而有,

因为,所以,由正弦定理得,

又,消,可得,所以,故选：B.

12.已知椭圆的左､右焦点分别为,过点的直线与椭圆交于两点,,则椭圆的离心率为（   ）

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】

设,然后可得,,,然后在中由勾股定理可得,然后在中由勾股定理可得答案.

【详解】

设,因为,所以,

由椭圆的定义可得,,

因为,所以在中由勾股定理可得,解得，所以,

所以在中由勾股定理可得,从而可得，故选：C.

二、填空题

13.已知曲线在点处的切线方程为,则________.

答案：

解析：

【分析】

首先求出函数的导函数,再根据得到方程组,解得,即可得解；

【详解】

因为,所以,

所以所以.故答案为：.

14.已知等比数列的公比为,且,数列中有连续四项是集合中的元素,则________.

答案：

解析：

【分析】

由题意根据等比数列中项的特点,观察得出中连续四项,从而得到答案.

【详解】

集合中有两个负数,三个正数,

由题意等比数列中连续四项为个正数和个负数,

由,所以中连续四项为,所以.故答案为：.

15.函数的部分图象如图中实线所示,为图象与轴交点,且,是的图象与圆（虚线所示）的交点,且点在轴上,,则圆的面积为________.

答案：

解析：

【分析】

根据图像由的图象与圆均关于点成中心对称,得出点坐标,从而求出函数的解析式,求出点的坐标,得出圆的半径,求出圆的面积.

【详解】

是的图象与圆的交点,由的图象与圆均关于点成中心对称

所以关于点对称,由,点在轴上,则,

则的周期为,即即

由,则,即,

由,则,所以,

,则,即圆的半径为

所以圆面积为.故答案为：

16.在三棱锥中,,点到三角形三边的距离相等,且点在平面上的射影落在三角形内,则与平面所成角的正切值为________.

答案：

解析：

【分析】

设点在平面上的射影为点,通过证明得到为与平面所成的角,在中计算即可得到的正弦值.

【详解】

设点在平面内的射影为点,因为点到三角形三边的距离相等,且点在平面上的射影落在三角形内,则点到三角形三边的距离相等,

所以点为三角形的内心,设三角形的内切圆的半径为,三角形的内切圆与边切于点,

因为,,,所以,又,所以,

在直角三角形中,,,所以,

因为平面,所以为与平面所成的角,

因为,所以,

所以与平面所成角的正切值为.

故答案为：.

三、解答题

17.已知数列的前项和.

（1）判断数列是否为等比数列,说明理由；

（2）若,求数列的前项和.

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）先求,由得出,从而可得到答案.

（2）由错位相减法求和即可得到答案.

【详解】

（1）当时,,因为,

所以数列的通项公式：,

所以,,所以,所以不是等比数列.

（2）由（1）得：,所以,

当时,

当时,,①

,②

由①-②得：

,

所以,当时,也满足

所以.

19.某科技公司为制订下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响,对近年研发资金投入量和销售额数据作了初步处理,得到下面的散点图.

（1）根据散点图判断,与哪一个适宜作为年销售额关于年研发资金投入量的回归方程类型？（给出判断即可,不必说明理由）

（2）①根据（1）的选择及表中数据,建立关于的回归方程（精确到）；

②若下一年销售额需达到亿元,预测下一年的研发资金投入量约为多少亿元？

附：对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.参考数据：其中.

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据散点图可得答案；

（2）根据所给数据和公式计算即可.

【详解】

（1）适宜作为年销售量额关于年研发资金投入量的回归方程类型.

（2）①由,得,即

,

则关于的回归方程为

所以,即

②若下一年销售额需达到亿元,则由,得,

,所以预测下一年的研发资金投入量约为亿元.

19.如图所示,直三棱柱的所有棱长均相等,点为的中点,点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若三棱锥的体积为,求该三棱柱的外接球表面积.

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）连结,证明即可；

（2）设,由可求出,然后求出外接球的半径即可.

【详解】

（1）证明：连结,

因为侧面为矩形,所以点为的中点,

又因为点为的中点,所以,

因为平面,平面,

所以,平面.

（2）设,因为,

又因为直三棱柱的所有棱长均相等

所以,点到平面的距离为,,

所以,,解得：,

因为等边三角形的外接圆半径为,三棱柱的高,

所以,三棱柱的外接球半径

所以,三棱柱的外接球表面积.

23.设,.

（1）如果存在使得成立,求满足上述条件的最大值；

（2）如果对于任意的,都有成立,求实数的取值范围.

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据题意转化为,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解；

（2）根据题意转化为在区间上,,由（1）得到,把恒成立转化为恒成立,令,利用导数求得函数的单调性与最大值,即可求解.

【详解】

（1）由题意,存在使成立,等价于,

因为函数,可得.

令,解得或；令,解得,

又因为,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,

所以,

又由,所以,

所以,即的最大值为.

（2）对于任意的,都有成立,

等价于在区间上,,

由（1）知在区间上,

在区间上,恒成立等价于恒成立,

设,可得

可知在区间上是减函数,

又由,所以当时,,单调递增；

当时,,单调递减；

所以,所以,即的取值范围是.

21.设为坐标原点,以曲线上任意一点为圆心作圆,圆与轴交于两点,若圆过点时,.

（1）求曲线的方程；

（2）若圆与直线相切,设圆与圆相交于两点,若,求的值.

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）设点的坐标为,设线段的中点为,连接,,,由垂径定理和勾股定理结合条件可得答案.

（2）设圆心的坐标为,由题意得其半径,得到其圆的方程,与圆：联立,得出直线的方程,从而得到直线直线,由圆的性质结合抛物线的定义可得答案.

【详解】

（1）设点的坐标为,设线段的中点为,连接,,,

由垂径定理可知,,由勾股定理可知,

又,且,因为,所以,

则,化简得：；

（2）设圆心的坐标为,半径为,因为圆与直线：相切,所以,

又点在曲线：上,所以,故圆方程为,

因为圆与圆：相交于,两点,联立

由②①得：,故直线的方程为,

则直线过原点,又因为直线的方程为,所以直线直线,

由垂径定理知线段的中点为点,所以,故为为线段中点,则点的坐标为,故点为抛物线的焦点,

设抛物线的准线：,设圆与直线：相切于点,设点到直线的距离为,

则,由抛物线的定义知,

故,又因为点在圆上,所以,

故,所以.

四、选做题（2选1）

26.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,过点的两条直线分别交于两点和两点,且满足.

（1）求的普通方程；

（2）求直线的斜率与直线的斜率之和,

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）先确定的范围,再根据的表达式特点,消去参数,得普通方程；

（2）设直线的参数方程,联立方程组,根据参数的几何意义分别得到的表达式,结合三角函数知识,可得两直线的倾斜角的关系,即得答案.

【详解】

（1）因为,所以,

因为,

所以的普通方程为.

（2）由题意可知,直线的斜率与直线的斜率存在,

设直线的参数方程为,为参数,即为直线的倾斜角,

代入的方程并化简得,所以,

,

设直线的倾斜角为,同理可得,

因为,所以,

由,所以,

因为,所以,所以直线的斜率与直线的斜率之和为.

28.已知为正数.

（1）求的最小值；

（2）求证：.

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）,然后利用均值不等式可得答案；

（2）由,,可证明.

【详解】

（1）因为,当且仅当“”时等号成立,

所以当时,的最小值为.

（2）因为,同理,,

所以三式相加得,

所以,当且仅当“”时等号成立.