2023湖南省衡水金卷先享联盟高三联考数学试题含答案

衡水金卷先享联盟高三联考

数学试题

一、选择题

1.已知集合,则集合的非空子集的个数为（    ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

,所以集合的非空子集个数为.

故选：A.

2.已知命题,则是成立的（    ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

答案：

D

解析：

因为,所以是成立的既不充分又不必要条件.

故选：D.

3.若,则在上的投影向量为（    ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

设的夹角为,在上的投影向量为.

故选：C.

4.如图是函数的部分图象，则不可能为（    ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

由图象知函数的周期，即,即,由五点作图

法得,得,由,得,

则

而.

故选：D.

5.在平行四边形中,设,则（    ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

因为，所以，，

所以

.

故选：B.

6.设,则（    ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

当时，函数单调递增,所以,即

,因为,所以.

故选：A.

7.已知数列是等比数列，且,则（    ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

为等比数列，∴,又∵,∴公比满足,

则,而,平方得是以为首项,

为公比的等比数列,其前项和.

故选：B.

8.如图,是半球的直径,为球心,为大圆弧上的任意一点(异于

),在水平大圆面内的射影为,过作于,连接,若二面角为,则三棱锥体积的最大值为（    ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

∵平面,∴,∵,,∴平面,

∴,∴为二面角的平面角,即，

解法一：设,由于对称性，不妨设,

因为,所以,所以,

所以三棱锥体积

设,所以,

令

当时，单调递增；

当时，单调递减，

当时，取得最大值为.

故选：C.

解法二：设,在中,,

在中，

，

而,当且仅当,

即,即时，取得最大值.此时三棱锥体积的最大值

为.

故选：C.

二、多选题

9.若函数是定义在上的奇函数，，在

上单调递增,则（    ）

A.

B. 在上单调递减

C. 的周期为

D. 在上单调递减

答案：

A、C、D

解析：

因为函数是定义在上的奇函数,所以，又因为在上单调递

增,所以在上单调递增,故A正确,B错误；

因为,所以的图象关于直线对称,

且,又,所以,

即,所以,所以的周期,所以C、D正确.故选：ACD.

10.已知,则（    ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A、D

解析：

因为,所以,选项A: 因为,所以,

所以A正确;

选项B:,所以,所以B不正确;

选项C:因为,所以C不正确;

选项D:因为

,当且仅当时取等号，所以D正确.

故选：AD.

11.设定义在上的函数与的导数分别为与,若

，且，则（    ）

A.

B.的图象关于点对称

C.的图象关于直线对称

D.的周期为

答案：

B、C、D

解析：

因为,令,得,故A错误;

因为,所以,所以,

因为,所以,

所以,令,得,

则,所以,则关于直线对称,两边求导得

，函数的图像关于点对称，故B，C正确；

因为,所以,因为,

所以,所以,即,

则,故的周期,故D正确.

故选：BCD.

12.在棱长为的正方体中,点在线段上运动,则下列命题正确的是（    ）

A.

B.三棱锥的体积为定值

C.异面直线与所成的角可以为

D.设直线与平面所成的角为,则的最小值为

答案：

A、C、D

解析：

如图所示

对于A选项,因为平面在平面内, ,所以A选项正确;

对于B选项,因为,所以平面,所以，

所以B选项错误;对于C选项,因为,所以(或补角)为异面直线

与所成的角,因为为正三角形,所以当点与线段的端点重合时,

异面直线与所成的角取得最小值,当点与线段的中点重合时,

异面直线与所成的角取得最大值,因为当点从线段的端点运动到线段的中点过程中,异面直线与所成的角的大小变化是连续的,

所以异面直线与所成的角可以为,所以C选项正确;对于D选项,

因为,所以平面,所以点到平面的距离等于点

到平面的距离，由得点到平面的距离为，

要使最小,则最大,又,当最小时,最大,当点在线段的中点时,最小为,所以的最大值为,所以的最小值为,所以D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.设全集,集合，,且,则          .

答案：

解析：

根据题意:集合或,

∴,又因为：,则是方程的根,故，即.故答案为.

14.已知实数满足:,则的取值范围是          .

答案：

解析：

解法一：因为,所以令,

则,故

,其中

因为,所以,

所以,故的取值范围为.

解法二：因为圆心到直线的距离

所以圆心上的点到直线的距离的取值范围为

又因为，所以的取值范围是.

故答案为.

15.已知,函数,若函数无零点，则实数的取值范围是          .

答案：

解析：

无零点,

即

无实根.

∴无实根.令

,由,得；

,得.∴在上单调递增,在上单调递减,

∴.而时，时，

，∴若无零点，

需，即.又，∴.

故答案为.

16.在中,斜边为,点在边上,设,若，则用表示为          .

答案：

解析：

因为，所以，在中，，

所以，所以,所以，由

，所以，

即，所以，

即，在中，

，所以.

故答案为.

四、解答题

17.如图所示，四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,

为棱的中点,,连接,其中为的中点,.

(1)请用,表示向量；

(2),求的值.

答案：

见解析

解析：

(1)因为,所以由题知向量两两互相垂直，

因为,所以.

因为,所以,所以

又因为为的中点,为的中点,所以，

所以.

(2)

又因为，

所以.

18.在数列中,已知前项和为.

(1)求的通项公式及的表达式；

(2)设,求数列的前项和的表达式.

答案：

见解析

解析：

(1)因为,所以

相减得,，

即

所以

，累加得，

所以，

因为，符合上式，所以的通项公式.

（2）因为，所以，

所以，

所以，

所以，

所以.

19.年某军工企业抓住科技创新这个“牛鼻子”,整合资金投入研发高科技产

品,并面向全球发布了首批项科技创新重大技术需求榜单,吸引清华大学、北京

大学等余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准

对接，最终该公司产品研发部决定将某项最新高新技术应用到某军事产品的生产

中,计划该技术全年需投人固定成本万元，每生产千件该军事产品,需另投

入成本万元,且,假设该军事产品对外

销售单价定为每件万元,且全年内生产的该军事产品当年能全部销完.

(1)求出全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式；

(2)试求该企业全年产量为多少千件时,所获利润最大,并求出最大利润.

答案：
见解析

解析：

（1）当时，，

当时，

所以

（2）若，则，

当时，；若，

解法一：

当且仅当,即时,等号成立,此时.

解法二：

,则,

当时,单调递增，

当时,单调递减,所以.

因为,所以该企业全年产量为万件时，所获利润最大为万元.

20.在平面四边形中,,.

(1)求四边形面积的最大值；

(2)求对角线长的取值范围.

答案：
见解析

解析：

因为，所以三角形为正三角形.

设,

(1)在三角形中,由余弦定理得，

所以

所以,

因为,所以,当且仅当时取等号，

所以四边形的面积，

即四边形的面积最大值为；

(2)设，在三角形中,由正弦定理得，

所以，在三角形中，由余弦定理得，

因为，所以，所以.

21.在三棱锥中,已知平面平面,且,

.

(1)证明:平面；

(2)若,求平面与平面夹角的正弦值.

答案：
见解析

解析：

（1）因为，所以，

所以，又因为平面平面,平面平面

,平面,所以平面,所以,

因为,所以平面;

(2)因为平面,所以,

因为,,所以

以为坐标原点,向量分别为轴,在平面内,

过点与垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系，

所以

因为，所以

所以

设平面的一个法向量为,所以

令,则,所以,

又平面的一个法向量为,设平面与平面夹角为,

所以,所以

即平面与平面夹角的正弦值为.

22.设函数.

（1）当时，求的值域；

（2）当时，试判断函数的零点个数.

答案：
见解析

解析：

(1)

令.得.

当时,,单调递增；

当时,单调递减，

所以，

因为，所以，

所以的值域为.

（2）函数，

①，当时，

可知，

所以，

所以，

所以在上单调递增，

因为，

所以在上有一个零点.

②当时，，

所以，所以在上恒成立，

所以在无零点.

③当时，，

∵

又，∴在单调递减，

因为，，

所以在上存在一个零点，

综上，当时，的零点个数为.