2022-2023学年陕西省商洛市高三上学期12月联考理科数学试题含解析

  高三联考数学（理科）

一、选择题

1.已知集合，，则（   ）

A. B.

C. D.

答案：

C

解析：

【分析】先求出集合A，B的具体区间，再根据交集的定义求解.

【详解】因为，，所以；

故选：C.

2.设，则（   ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】根据复数乘法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.

【详解】由题意可得.故选：B.

3.已知函数，则函数的定义域为（   ）

A. B.

C. D.

答案：

D

解析：

【分析】先求得的定义域，进而求得的定义域.

【详解】由，解得，所以的定义域为.

令，则，所以的定义域为.故选：D.

4.已知向量，，若与反向共线，则（   ）

A. B. C. D.

答案：

A

解析：

【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求，再验证向量是否反向即可.

【详解】因为，共线，所以，得，

当时，，，向量与方向相同，与条件矛盾，

当时，，，向量与方向相反，满足条件，

所以，故选：A.

5.《三字经》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成为器物”的（   ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案：

B

解析：

【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可.

【详解】“打磨玉石”不一定“成为器物”，故充分性不成立，

但“成为器物”一定要“打磨玉石”，故必要性成立，

所以“打磨玉石”是“成为器物”的必要不充分条件.故选：B.

6.设，满足约束条件，则的最大值是（   ）

A. B. C. D.

答案：

D

解析：

【分析】作出不等式组的可行域，平移直线，得出最大值时经过的点，联立方程组求出点，代入即可求出最大值.

【详解】由题画出可行域如下图所示，

当直线平移到过点时，取得最大值，

由，得，所以，故选：D.

7.函数的图象大致为（   ）

A. B.

C. D.

答案：

B

解析：

【分析】根据函数的定义域，结合的正负判断即可.

【详解】定义域为，排除CD，

又，排除A.故选：B.

8.已知，，，则（   ）

A. B.

C. D.

答案：

C

解析：

【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合指数函数的单调性、幂函数的单调性、余弦函数的正负性进行判断即可.

【详解】由，

由，因为在第二象限，所以，

所以，故选：C.

9.若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

答案：

A

解析：

【分析】由题意可推得在上有解，分离参数，得在上有解，由此构造函数，，判断其单调性，即可求得答案.

【详解】由题可知在上有解，

即在上有解，

设，，，

当时，，递减，当时，，递增，

故，，，

所以，解得，所以的取值范围是，故选：A.

10.在各项不全为零的等差数列中，是其前项和，且，，则正整数的值为（   ）

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】由等差求和公式结合二次函数的性质得出正整数的值.

【详解】因为，所以可看成关于的二次函数，

由可知二次函数图像的对称轴为，所以，解得.

故选：C.

11.若定义域为的函数满足为偶函数，且对任意，，，均有，则关于的不等式的解集为（   ）

A. B. C. D.

答案：

A

解析：

【分析】根据的单调性、奇偶性求得不等式的解集.

【详解】为偶函数，图象关于轴对称，所以的图象关于直线对称，

依题意可知，在上单调递增，则在上单调递减，

由于，所以，即，解得，

所以不等式的解集为.故选：A.

12.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标向下平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（   ）

A. B.

C. D.

答案：

B

解析：

【分析】确定，得到，根据函数没有零点结合三角函数性质得到不等关系，计算得到答案.

【详解】根据题意：，，即，

在上没有零点，故，则.

，所以，

则或，解得或.

故选：B.

二、填空题

13.在等比数列中，，则        .

答案：

解析：

【分析】设数列的公比为，根据等比数列性质列方程求，结合等比数列性质求.

【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，

故，所以，故答案为：.

14.函数，的极值点为，则        .

答案：

解析：

【分析】由极值点的定义可求，再由同角关系，两角和正切公式可求.

【详解】因为，，

所以

因为函数，的极值点为，

所以，且，

所以，所以，，

所以.故答案为：.

15.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图）.已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在的中点，则        .

答案：

解析：

【分析】可分别构造与，分别求得，，的长度以及、，根据数量积的定义以及运算律即可求得；也可取中点为，构造，求出，以及的值.又，根据数量积的定义即可求得.

【详解】方法一：

图3

如图，取中点为，连结，显然过点.

易知，，，

则，，.

所以，.

图4

如图，延长交于，易知是的中点，且.

则，，

在中，，.

所以，.

所以，.故答案为：.

方法二：

图5

取中点为，连结，显然过点.

易知，，，.

如图，取中点为，显然，，.

在中，，.

又为中点，则.

所以，.

故答案为：.

16.已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为        .

答案：

解析：

【分析】利用基本不等式可得时取最大值，从而得到，利用二次函数的性质可得其最大值.

【详解】由，

可得，

即，当且仅当时，等号成立，

所以当取得最大值时，，，

所以，

故当，，时，取最大值，故答案为：.

三、解答题

17.已知一次函数满足.

（1）求的解析式；

（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）设函数，，代入对应系数相等即可.

（2）把分离参量，然后用基本不等式求最大值.

【详解】

（1）设，，

则，

所以解得所以的解析式为.

（2）由，，可得，

，当且仅当即时，取得最大值，

所以，即的取值范围为.

18.在中，角，，所对的边分别为，，，.

（1）证明：；

（2）求角的最大值，并说明此时的形状.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）由切化弦结合正弦定理即可证明；

（2）由余弦定理结合均值不等式即可求出结果．

【详解】

（1）因为，所以，

所以，所以，

所以，由正弦定理得；

（2），

当且仅当时，取得最小值，所以角取得最大值，

此时为等边三角形．

19.已知，，向量，，函数，的图像关于对称，且当恒成立时，

（1）求的解析式；

（2）若锐角的角，，所对边依次为，，，当时，取得最大值且，求面积得取值范围.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）根据平面向量的坐标运算得到函数的解析式，结合恒等变换公式进行化简，根据周期及对称中心即可求得，从而得到解析式；

（2）根据正弦定理及三角形的面积公式即可得到的范围，从而得到三角形面积范围.

【详解】

（1）由题意，得

，因为当时，，

所以，所以，又的图像关于对称，

所以，，即，，

因为，所以，则.

（2）由题意得，解得，则.

由正弦定理可知，

又为锐角三角形，所以，，

故，所以，

则，即，所以面积的取值范围是.

20.已知正项数列的前项和为，且.

（1）求的通项公式；

（2）证明：.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）根据求解可得，结合正项数列与等差数列的通项公式求解即可；

（2）由（1）可得，再裂项相消求和证明即可.

【详解】

（1）令，则，又，得.

当时，因为，所以，

两式相减得，即.

又因为，所以，则是公差为的等差数列，

故.

（2）由（1）可得，

所以

.

因为，所以，

因此.

21.已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）根据已知条件及函数值的定义，利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式，结合导数的几何意义及直线的点斜式即可求解.

（2）利用导数法求出函数的最小值及基本不等式，结合导数的几何意义、两直线平行的条件及直线的点斜式方程即可求解.

【详解】

（1），

，则，

所以曲线在处的切线方程为，即.

（2）设，，令，

则.

当时，；当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在时取得最大值，即.

，当且仅当时，等号成立，取得最小值.

因为，所以，得，.

即，，

所以直线的方程为，即.

22.已知函数.

（1）当时，证明：.

（2）若的最小值为，求的取值范围.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）当时，，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值；

（2）根据对数的运算可得，令，则，由（1）可知即在上有解，利用导数研究函数的单调性求出即可.

【详解】

（1）函数的定义域为，

当时，，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

则，所以成立；

（2），

令，则，即可化为，

由（1）可知当时，取得最小值，则有解，

即在上有解，令，则，

则当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

则，所以，即，

所以的取值范围为.