2023届江西红十校高三9月联考文数试题含答案

江西“红色十校”2023届高三第一次联考

数学文科

一、选择题

1.若复数满足，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

因为，所以，故选B.

2.已知集合，，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

因为，，所以，

故选D.

3.记正项等比数列的前项和为，若，则该数列的公比（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

因为，，得，即

，解得，故选C.

4.下图是国家统计局月发布的年月至年月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中年月看作个月，现有如下说法：

①年月至年月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；

②年月至年月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为；

③从这个增速中随机抽取个，增速超过的概率为.

则说法正确的个数为

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

从年月至年月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，故①正确；年月至年月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为，故②正确；从这个增速中随机抽取个，都超过的概率，故③正确，故选D.

5.已知，，，则，，的大小关系为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

因为，，，所以，故选D.

6.函数的大致图象为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

易知函数为奇函数，排除B，D，当时，则，排除A，故选C.

7.若，下列结论错误的是（   ）

A.的最大值为

B.的最小值为

C.的最大值为

D.的最大值为

答案：

C

解析：

因为，，所以，，当，且时，的最大值为，当，且时，的最小值为，A，B正确，由，可得，当且仅当时取等号，C错误；因为，当且仅当时取等号，D正确，故选C.

8.在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

因为，所以即为异面直线与所成角，设，则，，易证得，所以

，故选A.

9.已知函数的两个相邻的零点为，，则的一条对称轴是（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

设的周期为，则，得，所以，又因为

，且，所以，则，所以的对称轴为，解得，取，得一条对称轴为直线.故选B.

10.“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离.如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的，两地竖起高度均为寸的标杆与，与分别为标杆与在地面的影长，在按影长与的差结合“寸影千里”来推算，两地的距离.记，，则按照“寸影千里”的原则，，两地的距离大约为（   ）

A.里

B.里

C.里

D.里

答案：

C

解析：

由题意可知，，所以

，所以可以估计A，B两地的距离大约为里，故选C.

11.在软件中，函数是四舍五入函数，它含有两个参数，其中表示要进行四舍五入的数，表示保留小数的位数.如：

，已知，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

由函数知，在上单调递增，此时.又因为

，所以，即，所以，故选B.

12.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

在同一坐标内作出与的图象，当射线与曲线

相切时，即方程时，由，解得，结合图象可得时，，所以的取值范围是，故选B.

二、填空题

13.设，，若，则实数________.

答案：

解析：

因为，且，故，解得.

14.若抛物线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离为________.

答案：

解析：

抛物线方程化为标准形式为，由抛物线的定义可知，点到准线的距离为，所以点到轴的距离为.

15.已知，且，则________.

答案：

解析：

，因为

，所以，，，所以

.

16.已知曲线在点处的切线与在点处的切线垂直，则________；的最大值为_________.

答案：

；

解析：

因为，，所以，，由题意得，即，所以；，设，则，所以.

三、解答题

17.在①，，

②，

③

这三个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答问题.

已知数列的前项和为，，且.

（1）求的通向公式；

（2）若是，的等比中项，求数列的前项和.

答案：

见解析

解析：

（1）若选①，则由，得，

即，即，

又，

所以是以为首项，为公差的等差数列，

，

所以的通项公式为.

若选②，由得，

所以是以为首项，为公差的等差数列，

所以，则，

当时，，

当，满足上式，

所以的通项公式为.

若选③，由，得，

所以，

当时，满足上式，

所以的通项公式为.

（2）依题意，

所以，

所以

.

18.在中，内角，，，的对边分别是，，，且

.

（1）求证：，，依次成等差数列；

（2）若，求的面积的最大值.

答案：

见解析

解析：

（1）证明：由正弦定理可知，

得，即，

因为，所以.

由正弦定理得，故，，依次成等差数列.

（2）由于，得，所以.

所以，当且仅当时等号成立，

所以.

所以，

故，

当且仅当时等号成立，即的面积的最大值为.

19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，.是等腰直角三角形，，且平面平面 .

（1）求证：；

（2）若，求点到平面的距离.

答案：

见解析

解析：

（1）证明：因为平面平面，平面平面，

平面，，

所以平面，所以.

又，，平面，平面，

所以平面，

又因为平面，

所以.

（2）解：设的中点为，连接，

因为是等腰直角三角形，，所以，

又因为平面平面，平面平面，平面,

所以平面.

由，可得，，，，

由（1）知，

所以，

所以，，

所以.

设点到平面的距离为，

则，

所以，即点到平面的距离为.

20.设为坐标原点，椭圆的离心率为，且过点.

（1）求的方程；

（2）若直线与交于，两点，且的面积是，求证：.

答案：

见解析

解析：

（1）由题意得，，

解得，

所以的方程为.

（2）证明：由，消去得，

设，，则，

所以.

点到的距离，

所以，

所以，

即，

所以.

21.已知函数.

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，证明：.

答案：

见解析

解析：

（1）解：因为在上单调递增，

所以对恒成立，

即对恒成立.

令，，则.

因为当时，，，所以，

即在上单调递减，所以，

从而，即实数的取值范围是.

（2）证明：当时，.

要证，即证.

即证，即证.

令，则只要证.

令，则.

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以，所以，

即成立，故.

四、选做题（二选一）

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极值，轴正半轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为

.

（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）与交于，两点，若，求.

答案：

见解析

解析：

（1）将的参数方程化为直角坐标方程得，

的方程为.

的极坐标方程为，

的直角坐标方程为.

（2）将的极坐标方程代入的极坐标方程得.

设，所对应的极径分别为，，

则，，

，

，

，满足，

或.

23.已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式对和恒成立，求实数的取值范围.

答案：

见解析

解析：

（1）由题意得，

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得.

综上，的解集为.

（2），当且仅当时取等号，

所以.

因为，当且仅当时等号成立，

所以.

若不等式对和恒成立，

则，

所以，

解得或，即实数的取值范围是.