九师联盟11月高三文科数学试题含答案

一、选择题

1.已知复数满足,则在复平面内对应的点位于（   ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：

D

解析：

因为,所以,即,

所以,故在复平面内对应的点为,位于第四象限.故选D.

2.已知集合，,则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

由,得或,所以；

由,得或,所以,或,

从而.故选A.

3.已知为等差数列，若，，则的公差为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

设的公差为，则.故选C.

4.若,,则是的（   ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：

B

解析：

由,得,所以,

即；由,得,因为,

故是的必要不充分条件.故选B.

5.已知关于的方程,甲、乙、丙、丁四位同学对此方程分别有以下结论：甲：是该方程的根；

乙：是该方程的根；

丙：该方程两根之和为；

丁：该方程两根异号.

若四个同学的结论中仅有一个是错误的,则错误的结论为（   ）

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

答案：

B

解析：

因为甲、乙、丙不能同时成立,甲、乙、丁不能同时成立,乙、丙、丁不能同时成立,

所以错误的结论为乙.故选B.

6.若复数满足为纯虚数,且,则的虚部为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

方法一：设,

则,

因为为纯虚数,所以所以,,因为,

所以,解得,则,即的虚部为.故选A.

方法二：设（且）,则,

因为,所以,所以,,

即的虚部为.故选A.

7.已知,,则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

因为,,所以,所以.故A错误,C正确；对于B,取,,,,虽满足条件,但,故B错误；

对于D,取,,,,虽满足条件,但,故D错误.

故选C.

8.已知函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为,要得到的图象,只需将函数的图象向左平移（   ）

A.个单位长度

B.个单位长度

C.个单位长度

D.个单位长度

答案：

D

解析：

由题意得,所以,所以,

设其图象向左平移个单位长度,

得的图象,即为的图象,

所以,所以,令，

则.故选D.

9.已知,若是与的等比中项,则的最小值为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

由题意得,即,所以,又,

所以,,所以,

当且仅当,即，时等号成立.

故的最小值为.故选A.

10.若函数（,且）,则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

由,得,

设,

则,

两式相加,得,所以.故选B.

11.已知函数,数列满足,设为的前项和,则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

由题意知,所以当为奇数时,

；当为偶数时,,

所以

.故选D.

12.已知函数满足,（其中是的导函数）恒成立,若,,,则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

由,得,

所以,令,

则,,所以在上单调递增.因为,

所以,即,

所以,即,所以.故选D.

二、填空题

13.已知,满足约束条件，则的最小值为        .

答案：

解析：

画出可行域(如图阴影部分),由图知当直线过点时,

取得最小值,易求,代入得.故.

14.已知向量,,且,则        .

答案：

解析：

,由,

得,

解得.则,

故.

15.在数列中,,若,则        .

答案：

或

解析：

法一：,,,…,共项,设数列的前项和为,

则.因为,,

所以,

又,

所以,所以或.

法二：若,则

,不合题意,

因此.当时,

,

所以,解得或.

16.已知是定义域为的偶函数,为奇函数,当时,,若,则        .

答案：

解析：

因为为奇函数,所以,又为偶函数,

所以,所以,即,

所以,故是以为周期的周期函数.

由,令,得,

所以,又,所以,

所以,,解得,,

所以

.

三、解答题

17.已知虚数满足.

（1）求；

（2）若的虚部为正数,比较与的大小.

答案：

见解析

解析：

（1）法1：设,则,

所以,

所以解得或，

所以或.

法2：由已知得,所以,所以或.

（2）由题意知,

所以,

,,

所以,

所以,

所以.

18.产品宣传在企业的生产销售中占据着比较重要的地位,好的宣传对产品打开市场,提高销售额有着重要的作用.某生产企业通过市场调研发现,年销售量(万件)与宣传费用(万元)的关系为.已知生产该产品万件除宣传费用外还要投入万元,产品的销售单价定为元,假设生产的产品能全部售出.

（1）求产品的年利润的解析式；

（2）当宣传费用为多少万元时,生产该产品获得的年利润最大？

答案：

见解析

解析：

（1）

.

（2）由（1）知,

所以,

当且仅当,即时等号成立.

所以当宣传费用为万元时,生产该产品获得的年利润最大.

19.在各项均为正数的等比数列中,为其前项和,,,,成等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）若,数列的前项和为,证明：.

答案：

见解析

解析：

（1）设数列的公比为,由题意知,

即,

因为,,所以,所以,所以.

（2）由（1）得,所以,

所以,所以

.显然单调递增,所以,

因为,所以,所以.

20.在中,角,,的对边分别为,,,,.

（1）求角的大小；

（2）若的周长为,求边上中线的长.

答案：

见解析

解析：

（1）因为,又,所以,

由余弦定理,得.

又,所以,由及正弦定理,

得,所以,

因为,所以，所以,所以,解得.

（2）由（1）可知,,所以,

所以,由,得.

因为的周长为,所以,解得.

设的中点为,则.

由余弦定理,得

,所以边上中线的长为.

21.已知为数列的前项和,,对,.数列为等比数列,且,.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设,求数列的前项和.

答案：

见解析

解析：

（1）因为,所以,且,

当时,,

所以,即,

方法1：

所以,

所以当时,

,当时满足上式,故.

方法2：

所以,

所以数列为常数列,因此,即.

因为为等比数列,设公比为,则,且,

解得,故的通项公式为.

（2）由（1）得,

所以,

所以,

两式相减,得,

所以.

22.已知函数,,其中是的导函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若关于的方程有且仅有一个实根,求的取值范围.

答案：

见解析

解析：

（1）,

,

,当时,对,恒成立,故在上单调递增；

当时,令,得；令,得,

故在上单调递减,在上单调递增.

（2）等价于,即,

所以，令,

则“方程有且只有一个实数根”等价于“函数只有个零点”,

令,因为为的一个零点,

则仅有一个零点为或无零点.

①若是的仅有的一个零点,则,所以,

此时,则,,所以存在,

使得,与仅有一个零点矛盾,故.

②若无零点,因为,

当时,,则在上单调递增,

又,,所以存在,

使得,与题意不符；

当时,,对,,在上无零点,符合题意；

当时,令,得,令,得,

所以在上单调递减,在上单调递增,

所以,若无零点,则，

又,所以.

综上所述,关于的方程有且仅有一个实根时,实数的取值范围为.