高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理一课一练

课后素养落实(十七)　平面向量基本定理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是(　　)

A．①②    B．①③    C．①④    D．③④

B　[由基的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基．]

2．在矩形ABCD中，O是其对角线的交点，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)

A．(5e1＋3e2)    B．(5e1－3e2)

C．(3e2－5e1)    D．(5e2－3e1)

A　[＝＝(－)＝(5e1＋3e2).]

3．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为(　　)

A．＝＋m     B．＝m＋(1－m)

C．＝     D．＝＋

C　[由＝m得－＝m(－)，

∴＋m＝＋m，∴＝.]

4．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝(　　)

A．(a－b)    B．2b－a

C．(b－a)    D．2b＋a

B　[如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝(＋)，则＝2－＝2b－a.]

5．如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝(　　)

A.     B．

C.     D．

A　[法一：由＝2，＝2，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以＝(＋)，

则＝(＋)，又＝，＝n，

从而＝－＝n－，＝－＝(＋)－＝－，

又点M，P，N共线，

所以存在实数λ，使＝λ成立，即n－＝λ，

又因为，不共线，

所以有，解得n＝，故选A.

法二：设＝λ，∵＝，＝n，

∴＝＋＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋nλ，

又知＝2，∴＝＝＋，

∴ 解得λ＝，n＝，故选A.]

二、填空题

6.如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．

4e1＋3e2　[由题图可知，＝4e1＋3e2.]

7．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为________．

(－∞，4)∪(4，＋∞)　[若能作为平面内的一组基，则a与b不共线．

a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，

由a≠kb得λ≠4.]

8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

　[易知＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＋λ2＝.]

三、解答题

9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.

(1)证明：a，b可以作为一组基；

(2)以a，b为基，求向量c＝3e1－e2的分解式；

(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．

[解]　(1)证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).

由e1，e2不共线得即

∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基．

(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则

3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.

∴即

∴c＝2a＋b.

(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.

∴即

故所求λ、μ的值分别为3和1.

10.如图所示，P是△ABC内一点，且满足＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，求证：＝2.

[证明]　∵＝＋，＝＋，

∴(＋)＋2(＋)＋3＝0，

∴＋3＋2＋3＝0，

又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，

∴＝λ，＝μ，

∴λ＋3＋2＋3μ＝0，

∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.而，为不共线向量，

∴

∴λ＝－2，μ＝－1.

∴＝－＝.

故＝＋＝2.

11．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　　)

A．3    B．4    C．－    D．－

B　[因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，

所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0，

又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，

所以解得故选B.]

12.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界).设＝m1＋n2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足(　　)

A．m＞0，n＞0     B．m＞0，n＜0

C．m＜0，n＞0     D．m＜0，n＜0

B　[由题意及平面向量基本定理易得在＝m1＋n2中，m＞0，n＜0.]

13．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为________．

　[∵＝4＝r＋s，

∴＝＝(－)＝r＋s，

∴r＝，s＝－.∴3r＋s＝－＝.]

14．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋4＝，则△PBC与△PAB的面积比为________．

1∶2　[＋＋4＝＝＋，所以4＝2，即P在AC边上，且AP＝2PC，所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.]

15.如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，以a、b为基表示.

[解]　∵＝＋，＝＋，设＝m，＝n，

则＝＋m＝a＋m＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝(1－n)b＋na.

∵a与b不共线，

∴⇒n＝，m＝，

∴＝a＋b.