课后素养落实(一)　平面向量的概念

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列说法正确的是(　　)

A．零向量没有方向

B．向量就是有向线段

C．只有零向量的模等于0

D．单位向量都相等

C　[零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模等于0，故C选项正确；单位向量的模相等，对于任意两个单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误．故选C．]

2．(多选题)下列说法错误的是(　　)

A．向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件

B．若向量，满足||＞||，且与同向，则＞

C．若a≠b，则a与b可能是共线向量

D．若非零向量与平行，则＝

BD　[对于A选项，A，B，C，D四点共线⇒向量与共线，反之不成立，所以A说法正确；对于B选项，向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，故B说法错误；对于C选项，不相等的向量可能共线，故C说法正确；对于D选项，平行向量不一定是相等向量，故D说法错误．综上所述，故选BD．]

3．下面几个命题：

①若a＝b，则|a|＝|b|；

②若|a|＝0，则a＝0；

③若|a|＝|b|，则a＝b；

④若向量a，b满足则a＝b．

其中正确命题的个数是(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

B　[①正确；②错误．|a|＝0，则a＝0；③错误．a与b的方向不一定相同；④错误．a与b的方向有可能相反．]

4．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　)

A．单位圆    B．一段弧    C．线段    D．直线

A　[平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．]

5．如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有(　　)

A．12个   B．18个

C．24个   D．36个

C　[每个正方形的边长为1，则对角线长为，每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量．]

二、填空题

6．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为________．

1　[因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1．]

7．将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且||＝2||＝2时，||＝________．

3或1　[当与同向时，||＝||＋||＝3；

当与反向时，||＝||－||＝1．]

8．如图所示，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中画出了若干个向量，则

(1)与向量相等的向量有________；

(2)与向量共线，且模相等的向量有________；

(3)与向量共线，且模相等的向量有________．

(1)，；(2)，，，，；(3)，，，，　[(1)与向量相等的向量有，；(2)与向量共线，且模相等的向量有，，，，；(3)与向量共线，且模相等的向量有，，，，．]

三、解答题

9．O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：

(1)分别找出与，相等的向量；

(2)找出与共线的向量；

(3)找出与模相等的向量；

(4)向量与是否相等？

[解]　(1)＝，＝．

(2)与共线的向量有：，，．

(3)与模相等的向量有：，，，，，，．

(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．

10．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．

(1)作出向量，，；

(2)求的模．

[解]　(1)作出向量，，，如图所示．

(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米．

1．(多选题)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是 (　　)

A．C⊆A   B．A∩B＝{a}

C．C⊆B   D．(A∩B)⊇{a}

ACD　[因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以B中的关系错误．]

2．(多选题)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是(　　)

A．||＝||

B．与共线

C．与共线

D．与共线

ABD　[∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线．又三点D，C，E共线，∴与共线，故A，B，D都正确．故选ABD．]

3．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．

12　[根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．]

4．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．

(1)与向量相等的向量有________；

(2)若||＝3，则||＝________．

(1)，　(2)6　[(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量相等的向量有，．

(2)因为||＝3，||＝2||，所以||＝6．]

如图所示的方格纸中每个小方格的边长为1，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝．

(1)画出所有的向量；

(2)求||的最大值与最小值．

[解]　(1)画出所有的向量，如下图中，，，，，，，所示．

(2)由上图知，

①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值，为＝；

②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值，为＝．

故||的最大值为，最小值为．