课后素养落实(二十七)　空间点、直线、平面之间的位置关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)

A．异面或平行 B．异面或相交

C．异面   D．相交、平行或异面

D　[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a，b异面，直线c的位置可如图所示．]

2．(多选题)下列结论正确的是(　　)

A．直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥b

B．若a⊂α，b⊄α，则a，b无公共点

C．若a⊄α，则a∥α或a与α相交

D．若a∩α＝A，则a⊄α

CD　[结合直线与平面的位置关系可知，AB错误，CD正确．]

3．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)

A．1条或2条　　   B．2条或3条

C．1条或3条　　   D．1条或2条或3条

D　[当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．]

4．设a为空间中的一条直线，记直线a与正方体ABCD­A1B1C1D1的六个面相交的平面个数为m，则m的所有可能取值构成的集合为(　　)

A．{2,4}   B．{2,6}

C．{4,6}   D．{2,4,6}

D　[体对角线所在的直线与正方体的6个面都相交，面对角线所在的直线与正方体的4个面相交，而棱所在的直线与正方体的2个面相交，故选D．]

5．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则(　　)

A．过P，Q的平面一定与α，β都相交

B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行

C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行

D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行

C　[当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A，故选C．]

二、填空题

6．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________．

平行或相交　[当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．]

7．在四棱锥P­ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．

8　[以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．]

8．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中判断下列位置关系：

(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．

(1)平行　(2)相交　[(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．]

三、解答题

9．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？

[解]　B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，AB1，AD1，CD1都相交，B1D1与平面AC平行．

10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．

[解]　如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF．

因为E是AA1的中点，

所以EF∥A1B．

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，

所以四边形A1BCD1是平行四边形．

所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1．

所以E，F，C，D1四点共面．

因为E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF．

所以过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF．

1．(多选题)以下四个命题是真命题的是(　　)

A．三个平面最多可以把空间分成八部分

B．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价

C．若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l

D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面

AC　[对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱并不共面，故D错．所以正确的是AC．]

2．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有(　　)

A．3个　　　B．4个    C．6个　　　D．7个

D　[把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：第一类：如图(1)所示，四个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中α共有4个．

图(1)　　　　　　　　图(2)

第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共3个．

综上，α共有4＋3＝7(个)，故选D．]

3．已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是________．

平行或异面　[如图，由于ABCD是梯形，AB∥CD，所以AB与CD无公共点，又CD⊄平面α，所以CD与平面α无公共点．当m∥AB时，则m∥DC；当m与 AB相交时，则m与DC异面．]

4．如图所示，在三棱锥A­BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的不同两点，G，H是棱BC上异于B，C的不同两点，给出下列说法：

①AB与CD为异面直线；

②FH与CD，DB均为异面直线；

③EG与FH为异面直线；

④EG与AB为异面直线．

其中正确的说法是________．(填序号)

①②③④　[因为直线CD⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所以AB与CD为异面直线，①正确；同理，②③④正确．]

如图(1)(2)所示，ABCD ­A1B1C1D1是正方体，在图(1)中，E，F分别是D1C1，B1B的中点．试分别画出图(1)(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线．

(1)　　　　　　　　(2)

[解]　如图①所示，过点E作EN∥BB1交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即有阴影的平面与平面ABCD的交线．

图①　　　　　　　图②

如图②所示，延长DC，过点C1作C1P∥A1B交DC的延长线于点P，连接BP，则BP即有阴影的平面与平面ABCD的交线．