课后素养落实(二十八)　直线与直线平行

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是(　　)

A．相交　　　　 　　　　 B．异面

C．平行   D．异面或相交

D　[由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．]

2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　　)

A．全等   B．相似

C．仅有一个角相等   D．全等或相似

D　[由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．]

3．(多选题)下列命题中，错误的有(　　)

A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等

C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补

D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行

AC　[这两个角相等或互补，选项A错误；由等角定理知选项B正确；在空间中，这样的两个角大小关系不确定，选项C错误；由基本事实4知选项D正确．]

4．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是(　　)

A．平行　　　B．相交　　　C．异面　　　D．不确定

A　[∵a∥b，b∥c，∴a∥c．又c∥d，∴a∥d．]

5．如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　)

A．相交但不垂直

B．相交且垂直

C．异面

D．平行

D　[连接D1E并延长，与AD交于点M，则△MDE∽△D1A1E，因为A1E＝2ED，所以M为AD的中点．

连接BF并延长，交AD于点N，

同理可得，N为AD的中点．

所以M，N重合，又＝，＝，

所以＝，所以EF∥BD1．]

二、填空题

6．如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．若∠A′B′C′＝120°，则∠C′D′E′＝________．

120°　[因为A′，B′分别是AD，DB的中点，所以A′B′∥a，同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，

所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′．

又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，

所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′，

所以∠C′D′E′＝120°．]

7．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，与AD1平行的面上的对角线有________条．

1　[连接正方体各面上的对角线．

过点D1和A点的对角线和直线AD1相交．A1B，A1C1，C1D分别与AD1是异面直线，夹角为60°，B1C，A1D和AD1是垂直的，故只有直线BC1∥AD1．

故满足条件的直线只有1条．]

8．如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝________．

m　[连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连接MN，EF(图略)，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD，∴MNEF，EFBD，∴MNBD，∴MN＝m．]

三、解答题

9．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝．

(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；

(2)求的值．

[解]　(1)在△ABO与△A′B′O中，

∵∠AOB＝∠A′OB′，＝＝．

∴△ABO∽△A′B′O，

∴＝，∠BAO＝∠B′A′O，∴A′B′∥AB．

同理A′C′∥AC，B′C′∥BC．

(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，

∴易知∠BAC＝∠B′A′C′，

同理∠ABC＝∠A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′．

又＝，

∴＝＝．

10．如图(1)所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C′D′的位置(如图(2))，G，H分别为AD′，BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．

图(1)　　　　　　　图(2)

[证明]　在题图(1)中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．

在题图(2)中，易知C′D′∥EF∥AB．

∵G，H分别为AD′，BC′的中点，

∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，

∴GH∥EF，GH＝EF，

∴四边形EFGH为平行四边形．

1．已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈α，点B，D∈β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是(　　)

A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合

B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交

C．当直线AB与CD相交，且AC∥l时，BD可能与l相交

D．当直线AB与CD异面时，MN可能与l平行

B　[当CD＝2AB时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD，M，N两点重合，可知A错误；若M，N重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；当AB与CD相交，直线AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选B．]

2．如图所示，在四面体A­BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法不正确的是(　　)

A．M，N，P，Q四点共面

B．∠QME＝∠CBD

C．△BCD∽△MEQ

D．四边形MNPQ为矩形

D　[由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD．对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；对于D，由三角形的中位线定理，知MQBD，NPBD，所以MQNP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确．]

3．如图所示，已知三棱锥A­BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．MN≥(AC＋BD)

B．MN≤(AC＋BD)

C．MN＝(AC＋BD)

D．MN＜(AC＋BD)

D　[如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，

则ME＝AC，NE＝BD，

所以ME＋NE＝(AC＋BD)．

在△MNE中，有ME＋NE＞MN，

所以MN＜(AC＋BD)．]

4．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________．(填序号)

①　　　　　　　　②

③　　　　　　　　④

①②　[根据正方形的结构特征，可得①②中RS与PQ均是平行直线，④中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是是异面直线．

故答案为：①②．]

如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？请说明理由．

[解]　如图，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．理由如下：

因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC．