初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形巩固练习

北师大版八年级数学下册 1.1 等腰三角形 课时同步训练

一、单选题

1．在 中， ， 是高，若 ，则 的度数是（　　） 

A．20° B．25° C．30° D．35°

2．若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为（　　） 

A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm

3．等腰三角形的周长是 16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（　　）  

A．8cm B．4cm C．10cm D．4cm或8cm

4．如图，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为（　　） 

A．80° B．100° C．120° D．160°

5．等腰三角形的一个角是50°，它的底角的度数是（　　）  

A．65° B．50° C．65°或50° D．不能确定

6．如图，过边长为 的等边 的边 上一点，作 于 为 延长线上一点，当 时，连接 交 于 ，则 的长为（　　） 

A． B． C． D．

7．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形.点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（　　） 

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

二、填空题

9．已知等腰三角形的顶角是，则这个等腰三角形的底角是　     　．

10．等腰三角形的两边长为3和7，则周长为　     　．

11．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　                 　．  

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，连接AD，点P在AD上，连接BP，CP，过点D作DE⊥BP，DF⊥CP，垂足分别为EF，则下列结论：①BD＝CD；②△BDE≌△CDF；③DE＝PE；④△BCP是等腰三角形．其中正确的有 　     　．（填序号）

13．如图，在△ABC中，∠BAC＝α，点D在BC上，且BD＝BA，点E在射线BC上，且CE＝AC，则∠DAE的大小为 　     　.

14．如果等腰三角形的两边长分别为3和2，则它的周长为　     　.

15．如图，在第一个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB，在边A1B上任取一D，延长CA2到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2B上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第三个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是　                              　度． 

三、解答题

16．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE.

17．如图，在 中， ， ，过B作 于D，求 的度数． 

18．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC、CD于E、F．试说明△CEF是等腰三角形． 

19．在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．

20．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．

​

21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE．

求证：AB=AC．

22．等腰三角形的一个内角为40°，求三角形的顶角度数是多少?

23．如图，△ABC中，AB=AC．

（1）以点B为顶点，作∠CBD=∠ABC（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，证明：AC∥BD．

答案解析部分

1．【答案】B

【解析】【解答】∵AB＝AC，∠A＝50°，

∴∠ABC＝∠ACB＝65°

∵BD是AC边上的高，

∴BD⊥AC，

∴∠CBD＝90°−65°＝25°.

故答案为：B.

【分析】根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，再由三角形内角和定理可求得∠ABC=∠ACB的度数，然后由直角三角形两锐角互余可求解.

2．【答案】A

【解析】【解答】若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；

若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故答案为：A．

【分析】由于此题没有明确的告知长为2的边是底还是腰，故需要分类讨论：①2cm为等腰三角形的腰长，②2cm为等腰三角形的底边，根据等腰三角形的性质及周长的计算方法，分别算出其他两边，再根据三角形三边的关系判断能否围成三角形，即可得出答案。

3．【答案】B

【解析】【解答】解：①4cm是底边时，腰长为 ×（16-4）=6，能组成三角形，

②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8，

∵4+4=8，

∴不能组成三角形，

综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm.

故答案为：B.

【分析】分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，对能围成三角形的按三角形周长的计算方法算出答案.

4．【答案】B

【解析】【解答】解：∵AC＝AB，

∴∠ACB＝∠1＝40°，

∵AB∥CD，

∴∠BCE＝180°﹣∠1＝140°，

∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝140°-40°=100°，

故答案为：B．

【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．

5．【答案】C

【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为50°，

若这个角为顶角，则底角为： ，

若这个角为底角，则另一个底角也为50°，

∴其一个底角的度数是65°或50°.

故答案为：C.

【分析】由等腰三角形的一个内角为50°，可分别从50°为底角与50°为顶角去分析求解，即可求得答案.

6．【答案】B

【解析】【解答】过P作BC的平行线交AC于F，

∴ ．

∵ 是等边三角形，

∴ ，  ，

∴ 是等边三角形，

∴ ．

∵ ，∴ ．

在 和 中，

∵ ，

∴ ≌ ，

∴ ．

∵ 于 ，  是等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∵ ，∴ ．

故 的长为 ．

故答案为：B.

【分析】过P作BC的平行线交AC于F，结合已知条件易证 是等边三角形，由等边三角形的性质及 可得 ．利用AAS证明 ≌ ，根据全等三角形的性质可得 ．利用等腰三角形三线合一的性质可得 ，由此可得 ，从而求得DE的长.

7．【答案】C

【解析】【解答】解：若以AB为底组成等腰三角形，则点C在AB中垂线上且在格点上，满足条件的点C有5个.如图：

若以AB为腰组成等腰三角形，则满足关于格线与AB成轴对称的线段共有4条，即点C共有4个.如图：

故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，分以AB为底组成等腰三角形，则点C在AB中垂线上且在格点上，若以AB为腰组成等腰三角形，则满足关于格线与AB成轴对称的线段，综上所述就可得出答案.

8．【答案】D

【解析】【解答】：如图：

故答案为：D．

【分析】分类要清晰，做到不重不漏，以A、B、C分别为顶角顶点，A、B各1个，C两个，共计4个；以各边为底边3个，总共7个.

9．【答案】70°

【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角是，

∴底角为×(180°-40°)= 70°．

故答案为：70°．

【分析】利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。

10．【答案】17

【解析】【解答】①第三边的边长为3时，

3+3＜7，不能构成三角形；

②第三边的边长为7时，

3+7＞7，7﹣3＜7，

三角形的周长为7+7+3=17.

故答案为：17.

【分析】3和7都可能为腰长，但是三角形的三边需验证是否满足两边和大于第三边.

11．【答案】25°或40°或10°

【解析】【解答】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，

对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，

∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，

∠C= （180°-100°）=40°，②AB=AD，此时∠ADB= （180°-∠A）= （180°-80°）=50°，

∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，

∠C= （180°-130°）=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，

∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，

∠C= （180°-160°）=10°，

综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°

故答案为25°或40°或10°

【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．

12．【答案】①②④

【解析】【解答】解：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，BD＝CD，故①正确，

∴BP＝CP，

∴△BPC是等腰三角形，∠PBD＝∠PCD，故④正确，

在△BDE和△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（AAS），故②正确，

由题意无法证明DE＝PE，故③错误.

故答案为：①②④.

【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，BP＝CP，推出△BPC是等腰三角形，据此判断①④；根据全等三角形的判定定理可判断②.

13．【答案】

【解析】【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE，

∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，

设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，

则 ，

解得y+z＝ α，

∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝ α；

故答案为： .

【分析】由等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，则x+z=α，x=z+2y，表示出y+z，然后根据∠DAE＝∠DAC+∠CAE进行解答.

14．【答案】7或8

【解析】【解答】解：当3是底边，2是腰长， ，

∴周长 ；

当2是底边，3是腰长， ，

∴周长 ；

故答案是7或8.
 

【分析】分两种情况讨论，即当3是底边，2是腰长，当2是底边，3是腰长，结合三角形三边的关系先作出判断，再计算周长即可.

15．【答案】

【解析】【解答】解：∵在△ABA1中，∠B=30°，AB=A1B， 

∴∠BA1A= =75°，

∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，

∴∠DA2A1= ∠BA1C= ×75°=37.5°；

同理可得，

∠EA3A2= ，∠FA4A3= ，

∴第n个三角形的以An为顶点的内角的度数= ．

故答案为 ．

【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的内角的度数．

16．【答案】证明：如图，过点 作 于 .  

，

；

，

，

，

【解析】【分析】 如图，过点 作 于 ，根据等腰三角形的三线合一得出BP=PC,DP=PE，进而根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出BD=CE.

17．【答案】解： ，  

，

．

，

，

，

．

【解析】【分析】根据AB=AC得出这是等腰三角形，然后两个底角相等，计算底角度数，根据BD是垂线可以计算角ABD的度数，然后用底角度数减去他就是要求的角的度数

18．【答案】解：∵∠ACB=90°， 

∴∠B+∠BAC=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠CAD+∠ACD=90°．

∴∠ACD=∠B．

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠CAE=∠EAB．

∵∠EAB+∠B=∠CEA，∠CAE+∠ACD=∠CFE，

∴∠CFE=∠CEF．

∴CF=CE．

∴△CEF是等腰三角形

【解析】【分析】首先根据条件∠ACB=90°，CD是AB边上的高，可证出∴∠B+∠BAC=90°，∠CAD+∠ACD=90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD=∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE=∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案． 

19．【答案】解：设三角形的腰 AB=AC=x

若AB+AD=24cm，

则：x+x=24

∴x=16

三角形的周长为24+30=54（cm）

所以三边长分别为16cm，16cm，22cm；

若AB+AD=30cm，

则：x+​x=30

∴x=20

∵三角形的周长为24+30=54（cm）

∴三边长分别为20cm，20cm，14cm；

因此，三角形的三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．

【解析】【分析】分两种情况讨论：当AB+AD=30，BC+DC=24或AB+AD=24，BC+DC=30，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16，16，22或20，20，14．

20．【答案】证明：∵AB=AC=AD，

∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，

∴∠ABC=∠CBD+∠D，

∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠D，

∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，

又∵∠C=∠ABC，

∴∠C=2∠D．

【解析】【分析】首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．

21．【答案】证明：∵AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，

∴∠ADB=∠BEC=90°，

∴∠ABC+∠BAD=∠C+∠CBE=90°，

∵∠BAD=∠CBE，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC．

【解析】【分析】根据三角形的内角和得到∠ABC+∠BAD=∠C+∠CBE=90°，由等式的性质得到∠ABC=∠C，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．

22．【答案】解：（1）当等腰三角形的顶角为40°时，这个三角形的顶角是40°；（2）当等腰三角形的底角为40°时，这个三角形的顶角是：180°－40°－40°=100°

答：这个等腰三角形的顶角为40°或100°。

【解析】【分析】此题需要分： 当等腰三角形的顶角为40°时与当等腰三角形的底角为40°时两种情况，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的两底角相等分别求出答案.

23．【答案】（1）解：如图，∠CBD为所作；

（2）证明：由（1）得∠CBD=∠ABC，

又∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠CBD=∠C，

∴AC∥BD．

【解析】【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠CBD=∠ABC；

（2）利用等腰三角形的性质得∠ABC=∠C，则利用等量代换得到∠CBD=∠C，则根据平行线的判定可判断AC∥BD．